虚数虚在哪里

把实数区分成有理数和无理数已够令人纳闷了，怎么数还会有虚实之分呢？虚数虚在哪里，实数又实在哪里？要回答这个问题，还得从虚数的来历说起。

16世纪，正当欧洲数学家对于负数该不该算作数有争议的时候，又一种新数被卷进了争议的旋涡，这就是负数的平方根。

负数有平方根吗？这是争议的焦点。主张负数没有平方根的理由是，你见过哪一个数的平方是负数？既然没有，那么也就没有一个数可以作为负数的平方根。主张负数有平方根的理由也很充分。他们举例说：如果要你回答这样一个问题——“将10分成两部分，使它们的乘积等于40”，那么你非得承认$5 + \sqrt { - 15} $和$5 - \sqrt { - 15} $不可。换句话说，只有承认-15可以开平方，上述问题才能有结果。争论的双方都似乎很有道理，不过，由于当时传统观念还比较强，人们宁愿让上面所提出的问题没有结果，也不愿轻易承认负数有平方根。

随着数学的发展，这种不承认的主张受到越来越多的挑战。挑战之一是数学家们发现某些三次方程的实数根，还非得用负数的平方根表示不可。挑战之二是如果承认了负数的平方根，那么代数方程的有根、无根问题就可以得到一揽子解决，并且会得出“n次方程有n个根”这样一个圆满而诱人的结果。挑战之三是如果说它不是数，那么按数的运算法则对它进行运算时，结果却是正确的，这又怎么解释呢？

数学家们的心情处于矛盾之中：既想把负数的平方根当作数将它引入数学，又因为它缺乏实在性而觉得这样做不踏实。1545年，意大利数学家卡尔丹首先作出一个折衷表示，他称负数的平方根是“虚构的数”。意思是，可以承认它为数，但它是“虚构的”，不像实数那样可以表示实际存在的量。这样一来，事情就好办多了。不少数学家虽然嘴里不说负数的平方根属不属于数，但在实际运算中却经常用到它。一直到1632年，法国数学家笛卡儿才正式给了负数的平方根一个大家愿意接受的名字——虚数，意在指出它不能反映量的大小那样的实在性的缺陷。

1768年，瑞士数学家欧拉再次对虚数作了解释，他说：“由于虚数既不比零大，也不比零小，又不等于零，因此它不包括在实际存在的数之中，它只存在于想象之中。”欧拉的话代表了18世纪前期的数学家对负数的平方根即虚数的认识和态度，也反映了虚数这一名字中的“虚”字的含义。

数学家是实事求是的，尽管他们给了虚数一个虚的字眼，但对它的研究却一点也不放松。在18、19两个世纪里，数学家们发现了关于虚数的许许多多性质和应用。特别是1777年，欧拉提出了虚数单位的概念，他把$\sqrt { - 1} $作为虚数单位，用符号i表示，相当于实数单位1。于是，任何一个虚数都能像实数一样，写成其单位的倍数。例如，

$\sqrt { - 5} {\text{ = }}\sqrt 5 \cdot \sqrt { - 1} {\text{ = }}\sqrt 5 i$，

$\sqrt { - 9} {\text{ = }}\sqrt 9 \cdot \sqrt { - 1} {\text{ = 3}}i$，

$\sqrt { - \frac{1}{2}} {\text{ = }}\sqrt {\frac{1}{2}} \cdot \sqrt { - 1} {\text{ = }}\sqrt {\frac{1}{2}} i$

等等[注]，就好比

$\sqrt 5 {\text{ = }}\sqrt 5 \cdot 1\sqrt 9 {\text{ = }}\sqrt 9 \cdot 1{\text{ = }}3 \times 1$，

$\sqrt {\frac{1}{2}} {\text{ = }}\sqrt {\frac{1}{2}} \cdot 1$

—样。

[注]符号$\sqrt { - 1} $是指-1的平方根。严格地说，它应该有两个，一个是+i，一个是-i，即$\sqrt { - 1} {\text{ = }} \pm i$。

数学家不仅把虚数和实数同样对待，而且把它们在复数的名称下统一了起来。就是说，复数包括了实数和虚数，用符号a+bi表示，其中a、b为实数，i为虚数单位。当a=0时，a+bi=bi，它表示一个纯虚数；当b=0时，a+bi=a它就是实数。这样，实数与虚数之间就不存在什么地位高低了。在复数中，虚数和实数相辅相存，缺一不可。

18世纪末，挪威数学家威塞尔、瑞士数学家阿尔刚，以及德国数学家高斯等人先后发明了将复数与平面上的点一一对应的做法。在平面上画两条垂直相交的直线，横的叫做实轴，竖的叫做虚轴。根据某一个单位长度，在两轴刻上刻度，于是就建立起了一个直角坐标平面。任意一个复数a+bi与直角坐标平面上这样一个点相对应：这个点向实轴作垂线，垂足与原点O相距a个单位长；向虚轴作垂线，垂足与原点O相距b个单位长。当然，根据这个对应法则，直角坐标平面上的任意一点也必对应一个复数。在上述一一对应下，实轴上的点对应实数，虚轴上的点对应纯虚数，原点对应于0。这种用于表示复数的直角坐标平面叫做复数平面，简称复平面。在复平面上，人们再次看到了虚数与实数在数的地位上的对等性，当然也感受到了它们的实际存在。因此，复平面发明后，虚数的地位也就最终确立了。然而，由于历史的原因，虚数的名字却留存了下来。