复数还能扩展吗

数学史告诉我们，人们对数的认识或者说数的概念是一步一步扩展的。最初认识的是自然数。在认识了分数和负数之后，数的概念也就从自然数扩展到了有理数。在认识了无理数之后，数的概念又从有理数扩展到了实数。而当人们认识了虚数之后，数的概念也就再一次从实数被扩展到了复数。

那么，复数能否再扩展呢？人们很自然地提出了这个问题。下面，我们通过追寻数学家们的思路来回答这个问题。

19世纪，有好几个人尝试对复数进行扩展，试图提出一种把复数包括在内的，并在其中恒能进行比复数更多的运算的新的数来。其中影响最大的是英国数学家哈密尔顿。

1828年，哈密尔顿开始思考复数的扩展问题。他首先对复数的认识作了更新。他指出，复数a+bi不是2+3意义上的真正的和，这里的加号的使用是历史的偶然，复数a+bi只不过是实数的一个有序对（a，b）。所谓有序对，是指其意义不仅取决于两个实数a与b，而且取决它们的次序，即（a，b）与（b，a）是不同的。于是，复数的运算和性质完全可以用有序的实数对来体现。例如，a+bi和c+di两个复数之间的“+、-、×、÷”可以表示为：

（a，b）+（c，d）=（a+c，b+d）；

（a，b）-（c，d）=（a-c，b-d）；

（a，b）·（c，d）=（ac-bd，ad+bc）；

$\frac{{\left( {ab} \right)}}{{\left( {cd} \right)}}{\text{ = }}\left( {\frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}}\frac{{bc - ad}}{{{c^2} + {d^2}}}} \right)$。

利用复数的有序对表示法很容易证明，在实数中成立的结合律、交换律和分配律在复数中也成立。例如加法交换律：

（a，b）+（c，d）=（a+c，b+d），

（c，d）+（a，b）=（c+a，d+b），

∵a+c=c+a，b+d=d+b，

∴（a+c，b+d）=（c+a，d+b），

即（a，b）+（c，d）=（c，d）+（a，b）。

经过这样认识上的更新后，哈密尔顿很自然提出了以下的扩展复数的设想：像从实数a扩展到复数（a，b）那样，将复数（a，b）扩展到（a，b，c）；与（a，b）表示a+bi相仿，（a，b，c）可表示a+bi+cj，其中j类似于i在复数中的地位，也是定性单元。

事情似乎办妥了。其实远不是如此。数的扩展主要地不在于提出一种新的书写形式，而是要使这个新数名副其实地是原有的数的扩展，即它既能包含原有数，又能保留原有的数的运算性质，如交换律，结合律，分配律，以及（i）₂=-1等等。并且新数还应该具有原有的数所不能进行或者不是总能进行的某种运算。这后一个要求而且是对数进行扩展的基本目的。例如，对于自然数来说，减法不是总能进行的，当小数减大数时其结果就不是自然数了，但在整数范围内它就恒能进行。对于整数来说，除法不是总能进行的，当一个数不能被另一个数整除的时候，其结果就不再是整数了，但在有理数范围内则恒能进行。同样，对于实数来说，开方运算不是总能进行的，当扩展到复数以后，开方就恒能进行了。

对照上述要求，哈密尔顿发现，像他上面所做的那样，在二元数（复数）的基础上增加一个元而得出的三元数（a，b，c）或者a+bi+cj，根本不是符合数的扩展要求的新数，这种数甚至连乘法的交换律也不满足。这样，哈密尔顿扩展复数的愿望也就落空了。是不是真存在一种符合上述要求的由复数扩展而成的新数，而没有被哈密尔顿发现呢？结论很明确——不是的。

19世纪后期，经证明，数学家们得出了如下结论：

复数是保持交换律、结合律和分配律这三个运算性质的数的最后的扩展。换句话说，保持复数基本运算性质的复数的扩展是不可能的。