中国古代怎样解多元一次方程组

学过数学的人都很熟悉“方程”。各种类型的方程问题也是名目繁多，但“方程”这个名词究竟是怎样来的，那就很少为人所知了。

在两千年前中国一部古老的数学著作《九章算术》里，有专门一章讲述多元一次方程组的问题，这一章的标题就叫做“方程”。其中第一道题的题意是这样：已知上等稻子3捆、中等稻子2捆、下等稻子1捆，能打出稻谷39斗。上等稻子2捆、中等稻子3捆、下等稻子1捆，能打出稻谷34斗。上等稻子1捆、中等稻子2捆、下等稻子3捆，能打出稻谷26斗。问各等稻子每1捆能打出稻谷多少斗？

我们学过了代数，很容易列出一个三元一次方程组。设上等稻子每捆可出稻谷x斗，中等稻子每捆可出稻谷y斗，下等稻子每捆可出稻谷z斗。于是有：

用加减消元法和代入法解这个方程组，不难得到：

x=，y=，z=

《九章算术》中给出的答案与这组答案完全一致。

如果对行列式有所了解的话，还可以根据方程组系数和常数项组成的行列式，应用克莱姆法则，直接求解这个方程组，那就更简便了。

但在《九章算术》的时代，尚未产生这些较先进的方法，特别是当时还不知道用x，y，z等字母来代替未知数，从而列出上述方程组。那么，古代怎样解决这类问题呢？我们从《九章算术》中可以看到，那里提供了一种独特的方法，非常适应于中国古代筹算的特点，就是根据已知条件摆出一种固定的格式：

我们看到，这种列方程的方法，虽然不象现在代数里那样用字母代替未知数。但是，其中每一未知项的系数都放在一定的地位，这与代数里的“分离系数法”是很类似的。图中的左行相当于（1）式，中行相当于（2）式，右行相当于（3）式。求解这个方程组时，用其中一个方程的首项系数[如（1）式中的3]，遍乘其他两个方程，然后再累加（或累减），逐步消去一些未知项，最后求出未知数，这种方法与现在的加减消元法稍有不同，在古代叫做“直除法”。“直除法”的演算步骤，很适合于我国古代用筹算进行计算，而所得结果当然也是完全正确的。

因为在这种问题中，摆列起来的筹算式呈方形，并且每一行都相等于根据已知条件列出的一个等式，称为“程”，所以这种方法就叫做“方程”。这也就是“方程”这个中国数学名词最早的来源。在数学发展史上，我国两千年前的《九章算术》最早叙述了很系统的多元一次方程组解法，这是反映我国古代先进数学水平的一项重要成就。

不仅如此，因为在《九章算术》方程章的某些问题中，有收款数目和付款数目，粮谷计算有加有减；方程计算时由于累加或累减结果，也难免出现负数情况。所以中国古代的数学家们引进了负数概念和正负数加减法则，在筹算中用斜摆的筹或者用黑色的或方形的筹来表示负数，而用正摆的筹或者用红色的或三角形的筹表示正数。在世界数学史上，公元7世纪印度婆罗门笈多的著作中才出现负数概念，而欧洲则迟至16、17世纪才对负数有比较正确的认识。负数概念的引进，有力地扩充了数的领域，使人们对于数的认识前进了重要的一步，这是中国古代数学的一项杰出贡献。

《九章算术》里的方程概念，当时只是专指多元一次方程组的问题，与现在的意义有所不同。随着数学的发展，方程的内容也日益丰富起来，“方程”逐渐成为含有未知量的等式的专有名称，如高次方程、三角方程、对数方程、指数方程，等等。在数学的两大门类代数与几何统一起来，产生了解析几何之后，“方程”又与曲线、曲面联系在一起，作为在所建立的坐标系中描述空间图形的代数式，如曲线方程、曲面方程，等等。当未知量是函数时，又出现了含有未知函数的微分或积分的等式，这就是微分方程、积分方程。“方程”概念的发展，从一个侧面反映了人们对于现实世界量的关系的认识，不断丰富、深入和提高的发展过程。