怎样发现新的数学公式

科学研究贵在有新的发现和发明。许多发现都是由观察客观事物开始的。我国宋朝著名的科学家沈括就是一个善于观察、善于总结的人。他经过太行山麓时，发现那里有大量的螺蚌壳和卵石，而这些东西一般常见于海滨，于是他想到这里的陆地原来是由古代的海洋演化而来的。数学中有许多发现，也起源于观察。把观察到的大量事实，归纳总结成数学式子；然后对它进行严格的论证，证明无误的式子就上升为数学公式或定理。这是一种重要的数学发现的方法，我们应该早些学会。下面举两个具体的例子。

例1 第一步.观察到下列事实：

1=1

1-4=-（1+2）

1-4+9=1+2+3

1-4+9-16=-（1+2+3+4）

…………

第二步.总结出一般的式子。

对任何正整数n，有

1²-2²十3²-…+(-1)ⁿ⁺¹n²，

=(-1)ⁿ⁺¹(1+2+3+…+n） （1）

第三步.试用数学归纳法证明（1）。

当n=1时（1）式正确，即设当n=1时，（1）式化为1=1，这当然是对的。设n=k

1²-2²+3²-…+(-1)^k+1k²=(-1)^k+1(1+2+…+k）

=(-1)_k+1·（2）

那么，当n=k+1时，我们有

1²-2²+3²-…+(-1)^k+2(k+1)²

=[1²-2²+3²-…+(-1)^k+2k²]+(-1)^k+2(k+1)²

以（2）代入此式右方，即得

1²-2²+3²-…+(-1)^k+2(k+1)²

=(-1)_k+1·+(-1)^k+2(k+1)²

=(-1)^k+1(k+1)[-(k+1)]

=(-1)^k+1

=(-1)^k+2

因此，当n=k+1时，（1）式也正确，于是（1）式得以完全证明。这样，我们便发现了一个数学公式（1）。

例2 第一步.有下列事实：

8+1+0=9 能被9除尽；

27+8+1=36 能被9除尽；

64+27+8=99 能被9除尽；

125+64+27=216 能被9除尽；

………… …………

第二步.这四件事可以合并成一个结论：

(n+1)³+n³+(n—1)³能被9除尽。

因为，当n=1，2，3，4时，这就是上面的四件观察到的事实。于是，我们自然地进一步提出假设：这个结论对任意正整数外都是正确的。

第三步.我们用归纳法来证明：确实是这样。当n=1时，我们已知上面的结论是正确的。现在设当n=k时它也正确，即设

(k+1)³+k³+(k-1)³=9m（m是某个正整数）（3）那么，当n=k+1时，得

(k+2)³+(k+1)³+k³=(k-1+3)³+(k+1)³+k³

=(k+1)³+k³+(k-1)³+9(k-1)²+27(k-1)+27

=9[m+(k-1)²+3(k-1)+3] [用到（3）式]

这最后一式也是9的倍数。因此，当n=k+2，上面的结论也正确。于是，根据数学归纳法我们发现了：对任意正整数n，(n+1)³+n³+(n-1)³都能被9除尽。

附带的发现：由于

(n+1)³+n³+(n-1)³

=n³+3n²+3n+1+n³+n³-3n²+3n-1

=3(n³+2n)

所以，3(n³+2n)能被9除尽。这样，我们便又发现了一条新规则：对任意正整数n，n³+2n都能被3除尽。