怎样构造奇数阶幻方

幻方是一种古老而有趣的数学游戏。n阶幻方，就是把1，2，…，至n²的n²个数排成n×n阵列，使得每行中的各数之和，每列中的各数之和，以及两条对角线中的各数之和，都是同一个数S。数S称为幻方的“幻和”。例如3阶幻方（图1）的幻和是15。

图1

在n阶幻方中，所有整数之和是

$1 + 2 + 3 + \cdots + {n^2}{\text{ = }}\frac{{{n^2}\left( {{n^2} + 1} \right)}}{2}$。

由于n阶幻方有n行，且每行和数为S，故有

$nS = \frac{{{n^2}\left( {{n^2} + 1} \right)}}{2}$，

任何n阶的幻和为

$S = \frac{{{n^2}\left( {{n^2} + 1} \right)}}{2}$。

图2

不难证明，2阶幻方是不存在的。而对于n的其他数值，n阶幻方都是可以构造的。有许多构造幻方的方法。这里我们介绍一种奇数阶幻方的构造方法，它是德·拉·洛贝莱在17世纪时发现的。图2就是按这一方法构造的一个5阶幻方，下面就以这个幻方为例，介绍构造的具体步骤。

第一步：把1放在顶行正中间的方格中，如图3（a）所示。

第二步：把后继的整数按自然顺序放置在右上方的方格中。例如图2中的7填在6的右上方方格中，8填在7的右上方方格中，等等。但是，按这样的方法，有时不一定能填写下去，因此在碰到下述情况时应作相应修改：

（1）当数已填写在顶行时，下一个数a+1应放在底行相应位置，使得将底行放在顶行之上时，a+1仍能位于a的右上方格中。例如1的后继数2，就应放在底行第4列位置上，如图3（a）所示。这样当把底行移到顶行之上时，2仍位于1的右上方方格中，如图3（6）所示。

（2）当数b已填写在右端列时，下一个数b+1应放在左端列相应位置，使得将左端列放在右端列的右面时，b+1仍能位于b的右上方方格中。例如3的后继数4，就应放在左端列第3行位置上，如图3（c）所示。这样当把左端列移到右端列右面时，4仍位于3的右上方方格中，如图3（d）所示。

（3）当到达的方格已经填有数，或者到达右上角的方格时，下一个数就填在刚填好数的方格正下方的方格中。例如，5的后继数6应填在5的正下方方格中；15的后继数16应填在15的正下方方格中，如图3（c）所示。

图3

按照上述一般步骤和（1）～（3）的修改方法，就可以把图2那样的5阶幻方构造出来，你可以试一试。对于7，9，…等其他奇数阶幻方，你也可以用这种方法试试，把它们构造出来。