什么是“百鸡问题”

在公元5世纪，我国一部数学著作《张邱建算经》里，有一个著名的数学问题：设公鸡每只价5元，母鸡每只价3元，小鸡3只价1元。今用100元钱买鸡100只，问买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？在数学史上，这类问题就叫做“百鸡问题”。

“百鸡问题”怎样解决呢？设买公鸡x只，买母鸡y只，买小鸡z只，那么，根据已知条件列方程，有：

在代数里，我们学过了多元一次方程组的解法。但在那里方程的个数与未知数的个数是相同的，方程组通常只有唯一的一组解。而“百鸡问题”则不同，它所含的方程个数少于未知数的个数。象这种方程个数少于未知数个数的问题，叫做不定方程问题。因此，“百鸡问题”就是一个一次不定方程求整数解的问题。一般地说，不定方程有无穷多组解。

《张邱建算经》没有记载“百鸡问题”的具体解法，只是给出了三组答案：

并且说：公鸡每增加4只，母鸡要减少7只，小鸡增加3只。

我们来看一看这些结论是怎样得到的。

（2）×3-（1），得

14x＋8y=200，

或者 7x+4y=100。 （3）

在（3）式中，和100都是4的倍数，或者

7x=100-4y=4(25-y)

因此，7x也是4的倍数，也就是说，x必须是4的倍数。我们可以顺次设x=4，8，12，并且相应地求出y=18，11，4，z=78，81，84。因为根据题意，x、y、z必须是小于100的正整数，所以，不定方程尽管可以有无穷多组解，但在“百鸡问题”中只能取上述三种答案。