n阶方阵 设A是n阶方阵，且存在自然数M使A^M=A^（M-1），试证A的特征值只能是0或1

设A是n阶方阵，且存在自然数M使A^M=A^（M-1），试证A的特征值只能是0或1  

设A是n阶方阵，且存在自然数M使A^M=A^（M-1），试证A的特征值只能是0或1

设a为A任意一个的特征值，x为属于a的特征向量则Ax=ax，A²x=a²x...=>(A^m)x=(a^m)x而(A^m)x=(A^(m-1))x∴(a^m)x=(a^(m-1))x=>a^m=a^(m-1)=>(a-1)a^(m-1)=0=>a=1或0∴A的特征值只有0和1

设A为N阶方阵，A的m次方=0，m是自然数，则A的特征值为

A的m次方的特征值=A的特征值的m次方，故先求A的m次方的特征值。
既然A的m次方=0，0矩阵的特征值当然是0，故A的m次方的特征值为0。
故A的特征值=0.

设m阶矩阵A满足A的平方 =A，证明：（1）A的特征值只能是1或0；（2）A+E

(1) 设a是A的特征值
则 a^2 -a 是 A^2-A 的特征值
而 A^2-A = 0, 零矩阵的特征值只能是0
所以 a^2-a=0
所以 a=1或0
即 A 的特征值只能是 1或0
(2) 由上知, A+E 的特征值只能是2或1

设A为n阶方阵, 且满足A^2-3A+2E=0，证明A的特征值只能是1或2

设A的特征值是a, 则a^2-3a+2 是 A^2-3A+2E 的特征值.
由已知 A^2-3A+2E = 0, 而零矩阵的特征值只能是零,
所以 a^2-3a+2 = 0, 即 (a -1)(a - 2) = 0. 所以 a=1 或 a = 2.
即 A的特征值只能是1或2.

设A为n阶方阵，且A的平方=E，证明：（1）A的特征值只能是1或-1 ；（2）3E-A可逆

(1)设λ是A的特征值
则 λ^2-1 是 A^2-E 的特征值
而 A^2-E=0
所以 λ^2-1=0
所以 λ=1或-1.
故A的特征值只能是1或-1.

(2) 由 A^2=E
得 A(A-3E) +3(A-3E) = -8E
所以 (A+3E)(3E-A) = 8E
所以 3E-A 可逆, 且 (3E-A)^-1 = (1/8)(A+3E).

设n阶方阵的秩小于n-1试证明A的伴随矩阵A*的特征值只能是0

假设A*不等于0，则根据A*定义，A的某个n-1子式行列式不等于0，也就是那个n-1阶子式的行向量线性无关，所以A必然有n-1行线性无关，和A的秩小于n-1矛盾，所以A*肯定是0矩阵，其特征值必然是0

设n阶方阵A满足A²=2A.证明A的特征值只能是0或2

证明: 设a是A的特征值
则a^2-2a 是 A^2-2A 的特征值
因为 A^2-2A = 0
所以 a^2-2a = 0
所以 a(a-2) = 0
所以 a=0 或 a=2.
即A的特征值只能是0或2.

利用约当标准形证明方阵A的特征值全是0当且仅当存在自然数m，使得A^m=O

设a是A的特征值
则 a^m 是 A^m 的特征值 (定理)
而 A^m = 0, 零矩阵只有0特征值
所以 a^m = 0
所以 a = 0.
即 A 的特征值只有0.
又因为 A≠0
所以 r(A)>=1
所以 AX=0 的基础解系所含向量的个数 n-r(A) <= n-1
所以n阶方阵A至多有n-1个线性无关的特征向量
故A不可对角化.

设入不等于0是m阶方阵Am*nBn*m的特征值，证明入也是n阶方阵BA的特征值

λ≠0.
由λ是AB的特征值,存在非零向量x使得ABx=λx.
所以BA(Bx)=B(ABx)=B(λx)=λBx,且Bx≠0
(否则λx=ABx=0,得λ=0,矛盾).
所以Bx是BA的属于特征值λ的特征向量
故 λ也是BA的特征值.