为什么对数logaN中要规定a＞0，a≠1

在对数log_aN的定义中，除了规定了真数N＞0外，还规定了底数a＞0，a≠1的条件。为什要排除a=1、a=0和a＜0这三种情况呢？

先看一下如果a=1时会发生什么情况。

我们知道，对数运算是指数运算的逆运算，即log_aN=b与a^b=N是以不同的形式表示了a、b、N三个数之间的同—种关系。假如允许log_aN中的底数a=1，那么由log₁N=b可写出1^b=N；同样，由1^b=N可以写出log₁N=b。于是就出现了这样的情况：

因为1²=1，所以log₁1=2；

因为1^-3=1，所以log₁1=-3；

因为${1^{\sqrt 2 }}{\text{ = }}1$，所以${\log _1}1{\text{ = }}\sqrt 2 $；

……

这也说是说，当N=1时，log₁N可以等于任意一个实数，毫无确定性；而当N≠1时，log₁N又不等于任何一个实数，从而没有数值意义。问题既然出在允许上，为了避免出现这种情况，在log_aN中规定a≠1就是必须的了。

再看如果允许a=0又将出现什么情况。允许a=0，就会出现log₀2、log₀5这样一些式子。然而这些式子是没有意义的，因为根本不存在这样的实数，能够等于log₀2或者log₀5。事实上，当a=0时，等式

a^b=0^b≡0（式中6为任意正实数）

告诉我们，

这一情况与允许a=1时的情况相同，自然也是必须避免的，于是也就有必要规定a≠0。

至于a不能小于0的问题，我们可以这样来考虑：如果允许a＜O，比如a=-2，由于在实数范围内${\left( { - 2} \right)^{\frac{1}{{2n}}}}$是不能成立的，因此与它相应的对数式也就不存在了，这等于排斥了相当多的一部分数的对数。既然，当a＜0时，log_aN不能连续地在实数范围内（甚至不能调密地在有理数范围内）取值，这样的对数怎么能用来简化实数的计算呢？又怎么能反映现实世界的数量关系呢？所以，当a＜0时研究log_aN没有任何意义了。

虽然我们还可以找出其他一些规定log_aN中a＞0，a≠1的理由，但仅从上面所讲的这些理由也就足以要求作出这样的规定了。