两个叹号表示什么阶乘 两道关于阶乘的数学题 求证:1. (k+1)!=(k+1)k! 2. (2n)!/2n!=n(2n-1)(2n-2).(n+1)

两道关于阶乘的数学题 求证:1. (k+1)!=(k+1)k! 2. (2n)!/2n!=n(2n-1)(2n-2).(n+1)  

两道关于阶乘的数学题 求证:1. (k+1)!=(k+1)k! 2. (2n)!/2n!=n(2n-1)(2n-2).(n+1)

（k+1)!=(k+1)*[k*(k-1)*(k-2)*.....2*1]
=(k+1)*k!
(2n)!=2n*(2n-1)*(2n-2)*(2n-3)*[(2n-n)*(n-1)*(n-2)*....2*1]
=2n*(2n-1)*(2n-2)*(2n-3)*n!
所以 (2n)!/2n!=n(2n-1)(2n-2)...(n+1)

求证:对任何自然数n,1*2*3.*k+2*3*4.(k+1)+.n(n+1).(n+k-1)=[n(n+1).(n+k)]/(k+1)

求证: 1*2*3*...*k+2*3*4*...*(k+1)+...+n(n+1)*…*(n+k-1)=[n(n+1)*...*(n+k)]/(k+1) (n为自然数)
证一：数学归纳法。略。
证二：裂项法。
1*2*3...*k = (-0*1*2*3...*k+1*2*3...*k*(k+1))/(k+1)
2*3...*k*(k+1)= (-1*2*3...*k*(k+1)+2*3...*(k+1)*(k+2))/(k+1)
...
n(n+1)*…*(n+k-1)=(-(n-1)n(n+1)*…*(n+k-1)+n(n+1)*...*(n+k)]/(k+1)
将上面各式求和，得证。
证二的另一描述：
(i+1)(i+2)*...*(i+k)=(-i*(i+1)(i+2)*...*(i+k)+(i+1)(i+2)*...*(i+k)*(i+k+1))/(k+1)
对i=0到n-1累加即证。另外可以用连加号∑(sum)和连乘号∏(prod)来表示，略。
外一则：等效于证
k!/0!+(k+1)!/1!+...+(k+n-1)!/(n-1)!=((k+n)!/n!)/(k+1)
两边同除k!,即证
C(k,0)+C(k+1,1)+...+C(k+n-1,n-1)=C(k+n,n)/(k+1)

利用数学归纳法证明: (n+1)(n+2).(n+n)=2n*1*3.(2n-1)时，由k到k+1时，左边应所乘的代数式是?

n=k时,左边是(k+1)(k+2)..(k+k)
n=k+1时,左边是(k+2)(k+3)..(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1)
则应乘的是(2k+1)(2k+2)/(k+1)
=2(2k+1)
无答案??

用数学归纳法证明（n+1）(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)时，从n=k到n=k+1,左边需增乘的代数式是？

<1>把n=1代入式子左右侧，左边=（1+1）=2，右边=2^1*1=2，左边=右边，所以n=1的时候式子成立.
<2>假设n=k的时候式子成立,则
n=k:
(k+1)(k+2)…(k+k)=2^k*1*3*…*(2k-1)
(已知)
n=k+1:
(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k-1)(k+1+k)(k+k+2)=2^(k+1)*1*3*…*(2k-1)(2k+1)
(求证目标)
观察可得，左边增乘代数式为((k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k-1)(k+1+k)(k+k
+2))/((k+1)(k+2)……(k+k))=(2*k+2)(2*k+1)/(k+1)=2*(2k+1)
∴(k+1)(k+2)…(k+k)*2*(2k+1)=2^k*1*3*…*(2k-1)*2*(2k+1)
(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k-1)(k+1+k)(k+k+2)=2^(k+1)*1*3*…*(2k-1)(2k+1)
∴对于任意的整数k>=1，若有n=k使等式成立均有n=k+1使等式成立
综合<1><2>,可以得出对于任意的整数n>=1,都有（n+1）(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)

利用数学归纳法证明: (n+1)(n+2).(n+n)=2n*1*3.(2n-1)时，由k到k+1时，左边应新增的因式是

左=(k+2)(k+3)....(k+k)(k+1+k)(k+k+2)
添了(2k+1)(2k+2)/(k+1)

求证【(2n)!】/(2^n*n!)=1*3*5*（2n-1）

[(2n)!]/(2^n*n!)
=[1*3*5*...*(2n-1)][2*4*6*...*2n]/(2^n*n!)
=[1*3*5*...*(2n-1)][1*2*3*...*n]/n!
=[1*3*5*...*(2n-1)]

数列a[n+1]=k+(2k+1)a[n]+(k(k+1)a[n](a[n+1]))^1/2 已知a1=0 k属于N 求a[n]属于N

设b(n)=a(n)+1/2
化简为b(n+1)=(2k+1)b(n)+2(k(k+1)(b[n]^2-1/4))^1/2
移项开方化简为
b(n+1)^2-2(2k+1)b(n)b(n+1)+b(n)^2+k(k+1)=0
易知
b(n+1)+b(n-1)=2(2k+1)b(n)
反带a(n)=b(n)-1/2
得a(n+1)+a(n-1)=2(2k+1)a(n)-2k
因为a1=0 a2=k
所以
a[n]属于N