过抛物线y24x的焦点作直线l 已知过原点的直线l与抛物线y=x^2-2x围成的图形的面积为9/2,求直线l的方程

已知过原点的直线l与抛物线y=x^2-2x围成的图形的面积为9/2,求直线l的方程  

已知过原点的直线l与抛物线y=x^2-2x围成的图形的面积为9/2,求直线l的方程

设直线方程为 y=kx ，与抛物线方程联立可解得两个交点的横坐标分别为 0、k+2 ，
（1）如果 k+2>0 ，
则 S=∫[0，k+2] (kx-x^2+2x) dx
=1/2*(k+2)*x^2-1/3*x^3 | [0，k+2]
=1/6*(k+2)^3=9/2 ，
解得 k=1 ；
（2）如果 k+2<0 ，
则 S=∫[k+2，0] (kx-x^2+2x) dx
=1/2*(k+2)*x^2-1/3*x^3 | [k+2，0]
= -1/6*(k+2)^3=9/2 ，
解得 k= -5 ；
综上可得，直线 L 方程为 y=x 或 y= -5x 。

抛物线Y=X^2-2aX(a>0),若过原点的直线L与抛物线所围成的图形面积为9/2a^2,求直线L的方程

设Y=kx, 因为Y=KX=X^2-2aX=0,所以x1=0,x2=2a+k,
所以S=9/2a^2=∫2a+k [kx-(X^2-2aX)]
0
所以S=9/2a^2=1/6 (2a+k)^3
所以k=3a^(2/3)-2a
L(x)=[3a^(2/3)-2a]X

抛物线 y= x 2 与直线x-y+2=0所围成的图形的面积为______, 抛物线y=x2 与直线x-y+2=0所围成的图形的面积为9292

由抛物线 y=

x 2  与直线x-y+2=0联立可得

x=-1 y=1

或

x=2 y=4

∴所求图形的面积为

∫ 2-1

(x+2-x 2 )dx = (

1 2

x 2 +2x-

1 3

x 3 )

| 2-1

=

9 2

故答案为：

9 2

过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax（a＞0）所围成的图形面积为92a3，求直线l的方程

设l的方程为：y=kx，由

y＝kx y＝x2?2ax

，解得x=0或x=2a+k
（1）若2a+k≥0，则可得
S＝

∫ 2a+k 0

(kx?x2+2ax)dx＝

(k+2a)3 6

＝

9 2

a3，解之得k=a．
∴所求直线l方程为：y=ax．
（2）若2a+k＜0，则可得
S＝

∫ 0 2a+k

(kx?x2+2ax)dx＝?

(k+2a)3 6

＝

9 2

a3，解之得k=-5a
∴所求直线l方程为：y=-5ax．
综上所述，直线l的方程为y=ax或y=-5ax．

定积分：过原点的直线l与抛物线y=x2-4x所围成的图形的面积是36,求l的方程

设y=kx
与抛物线交点(0,0),(4+k,4k+k^2)
k>0
S=∫(0,(4+k))[kx-x^2+4x]dx=(4+k)^3/6=36
k=2
k<0
S=∫((4+k),0)[kx-x^2+4x]dx=-(4+k)^3/6=36
k=-10
所以l方程为y=2x,y=-10x

设y=kx+b。
让∫(kx+b-(x^2-4x))dx=36，其中积分区域为x0,x1,x0<x1，x0,x1为直线与抛物线的交点的x坐标值。

已知抛物线y=-x^2/a+2x,过原点的直线l平分由抛物线与x轴所围成的 面积求l的方程

因为过原点，设直线方程方程为y=kx
由y=-x²/a + 2x= -(1/a)x(x-2a) =-(1/a)(x-a)²+a可知：
抛物线与x轴交于（0，0）、（2a，0）两点，极值为a，关于x=a对称
（1）a>0时,抛物线开口向下，在y轴右侧：
抛物线与x轴围成的面积S=三分之二的底乘以高，用定积分算为：
S=∫ 0->2a（-x²/a + 2x）dx=（-x³/3a+x²)|0->2a=4a²/3 （0->2a标注定积分上下限）
抛物线y=-x²/a + 2x与y=kx的交点除原点外为（a(2-k),ak(2-k)）
抛物线与y=kx围成的面积：∫ 0->a(2-k)（-x²/a + 2x-kx）dx
=[-x³/3a+x²(2-k)/2]|0->a(2-k)=a²(2-k)³/6=S/2=2a²/3,解得k=2-³√4 (³√4表示：三次根号4)
即 y=（2-³√4）x
（2）a<0时,抛物线开口向上 ，在y轴左侧，计算同上。
但因图像与上面关于原点中心对称，所以求得的直线与上述相同，即
直线方程还是 y=（2-³√4）x

求抛物线y=x2与直线y=x,y=2x所围成的图形的面积

抛物线y=x2与直线y=x,y=2x所围成的图形交点为(0,0),(1,1),(2,4)
面积=∫(2x-x)dx(从0到1）+∫(2x-x^2)dx(从1到2）
=(x^2-1/2*x)(从0到1）+(x^2-1/3*x^3)(从1到2）
=1/2+2/3
=7/6

分析：所求面积＝抛物线与直线y＝2x围成的面积－抛物线与直线y＝x围成的面积！
解：
联立｛y＝x²， 得 ｛x1＝0
｛y＝2x， ｛x2＝2
∴抛物线与直线y＝2x所围成的面积为：
S1＝∫(0,2)（2x－x²）dx
＝[x²－(1/3)x³]|(0,2)
＝(4－8/3)－0
＝4/3.
联立｛y＝x²， 得 ｛x1＝0
｛y＝x， ｛x2＝1
∴抛物线与直线y＝x所围成的面积为：
S2＝∫(0,1)（x－x²）dx
＝[(1/2)x²－(1/3)x³]|(0,1)
＝1/2－1/3
＝1/6.
∴S＝S1－S2＝4/3－1/6＝7/6.