已知直线l过点 已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，圆C：（x-1）2+（y-2）2=25．（1）判断直线l和圆C的位置关系；（2

已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，圆C：（x-1）2+（y-2）2=25．（1）判断直线l和圆C的位置关系；（2  

已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，圆C：（x-1）2+（y-2）2=25．（1）判断直线l和圆C的位置关系；（2

（1）∵直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，
∴化简得m（2x+y-7）+x+y-4=0，
因此，直线l经过直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点M（3，1）
又∵（3-1）2+（1-2）2＜25，
∴点E（3，1）在圆C的内部，可得直线l和圆C相交；
（2）假设直线l和圆C相交于点E，F，由相交弦长公式|EF|＝2

25?d2

，
其中d为圆心C到直线l的距离，
根据垂径定理，当d最大时相交弦长最小，而由（1）知，
直线l过定点M（3，1），所以dmax＝|CE|＝

5

，
即CE⊥l，根据CE的斜率kCE＝

2?1 1?3

＝?

1 2

，
可得相交弦长最小时，l的斜率kl＝?

2m+1 m+1

＝2，解之得m=-

3 4

．

已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，圆C：（x-1） 2 +（y-2） 2 =25．（1）判断直线l和圆C的位置关系；

（1）∵直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，
∴化简得m（2x+y-7）+x+y-4=0，
因此，直线l经过直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点M（3，1）
又∵（3-1） 2 +（1-2） 2 ＜25，
∴点E（3，1）在圆C的内部，可得直线l和圆C相交；
（2）假设直线l和圆C相交于点E，F，由相交弦长公式 |EF|=2

25- d 2 ，
其中d为圆心C到直线l的距离，
根据垂径定理，当d最大时相交弦长最小，而由（1）知，
直线l过定点M（3，1），所以 d max =|CE|=

5

，
即CE⊥l，根据CE的斜率 k CE =

2-1 1-3

=-

1 2

，
可得相交弦长最小时，l的斜率 k l =-

2m+1 m+1

=2 ，解之得m=-

3 4

．

已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R），则圆C与直线l的位置关系（

将l的方程整理为（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
由

x+y?4＝0 2x+y?7＝0

，解得

x＝3 y＝1

，
∴直线l过定点A（3，1）．
∵（3-1）2+（1-2）2=5＜25，
∴点A在圆C的内部，
故直线l恒与圆有两个交点，
故选C．

已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25 及直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4

(1)直线的方程可以化简为：x+y-4+m(2x+y-7)=0
这表示过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0交点的直线系；解方程组得交点为(3,1)
所以直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4恒过定点(3,1)
（2）因为点(3,1)在已知圆的内部，所以当直线L过圆心时截得的弦为直径=10最大；
当直线L与取最大值时的直线垂直时截得的弦最短；由于圆心到定点的距离为√5
所以最短弦长=2√（25-5）=4√5
此时最长弦的斜率=(2-1)/(1-3)=-1/2
所以最短弦的斜率=2；所以 - （2m+1)/(m+1)=2 ; m=-3/4

已知圆C：（x-1)^2+(y-2)^2=25，直线 L ：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）

你这个题目好象缺少条件啊。如果不缺条件，码字太难了。把思路说一下吧。
直线与圆有两个不同的公共点，说明圆心到直线的距离小于半径，由点到直线的距离公式得出一个关于m的式子。
以A,B为切点的切线交与点Q，那么Q点是切线的交点，它所在的直线过两点：圆心和AB的中点。由于你这个题目没有给其他条件算m的值，因此代入代公式太复杂。请在下面自己算吧。

已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4与圆C:(x-1)²+(y-2)²=25.

(2m+1)x+(m+1)y=7m+4
转化:(2x+y-7)m+(x+y-4)=0
联立：2x+y-7=0，x+y-4=0
得x=3,y=1
因为(3-1)²+（1-2）²=5<25 所以点（3，1）在圆内
所以过点（3，1）的直线l与圆总相交
（2）圆心（1，2）到点（3，1）的距离为根号5，因为半径为5，构造直角三角形，得弦长一半为2倍根号5
所以最短弦长为4倍根号5
因为圆心到点（3，1）的斜率为-1/2，所以直线的斜率为2
所以-（2m+1)/(m+1)=2
所以m=-3/4
呵呵，今天心情好就帮你做了，在数学上要加油哦

已知圆C（x-1）方+（y-2）方=25及直线L：（2m+1）X+（m+1）y=7m+4（m∈R）

1，证明：不论m取什么实数，直线L与圆C恒相交
圆心O（1，2）半径r=5
点O到直线L距离d=|2m+1+2m+2-7m-4|/√[(2m+1)^2+(m+1)^2]
得：（5d2-9)m2+(6d2-12)m+2d2-4=0
由∆≥0得d^2≤2
所以不论m取什么实数，直线L与圆C恒相交
2，求直线L与圆C所截得的弦的最短长度及此时直线L的方程
利用弦长公式自己求算
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O,也别忘了采纳！

已知圆C：(x-1)^2 +(y-2)^2 =25及直线l：(2m+1)x +(m+1)y =7m+4（m∈R）

（1）要证明恒相交，可以求直线有一个点恒在圆内。
∴要求出直线恒过一个定点
∵直线过一个定点，所以这个定点的X Y能使直线等式恒成立，
∴2mx+x+my+y=7m+4
∴m(2x+y)+(x+y)=7m+4
∴2x+y=7 x+y=4
所以定点为A （3,1）
∵A在圆C内
∴恒相交
（2）C（1，2）当直线l与AC直线相垂直的时候 弦长最短
AC的斜率为-0.5
所以 l的斜率为2
所以 -（2m+1）/(m+1)=2
m=-3/4
所以 y=2x-5

已知 圆C：(x-1)^2+(y-2)^2=25,直线L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0

1)求证：直线L恒过定点
2)判断直线L被圆C截得的弦何时最长、最短？并求得的弦长最短时m的取值以及最短长度

已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0

解：圆(x-1)^2+(y-2)^2=25的 半径R=5. 圆心为C(1,2)直线方程(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 就是(x+y-4)+m(2x+y-7)=0, 由于方程组x+y-4=0,2x+y-7=0的解是x=3,y=1.所以对于一切实数m，x=3，y=1都是直线方程的解，就是说无论m为何实数m所确定的直线L都经过点A（3，1）由于(3-1)^2+(1-2)^2=5<25, 所以点A到圆心C的距离|AC|<5=R，因而点A（3,1)在圆C内，所以不论m为何值直线L都与圆相交。那么经过圆C内的定点A的弦中，连线CA，以A为中点且垂直于CA的弦为最短，且以CA为直径时为最长弦长，由于k(CA)=(1-2)/(3-1)= -1/2，所以k(最短弦)=2=-(2m+1)/(m+1),解得：m=-3/4
设最短弦长为d,那么(d/2)^2=R^2-|CA|^2=25-5=20,所以d=4√5
满意请采纳，谢谢~