什么叫做勾股数组

我国古代称直角的两边为勾和股，斜边为弦。勾股定理就是说，直角三角形斜边上的正方形的面积，等于直角两条边上正方形面积的和。在我国一本古数学书——《周髀（bì)算经》的第一篇内就谈到“勾三股四弦五”的话。这个定理，在法国和比利时等国称为“驴桥定理”，而有些国家称它为毕达哥拉斯（Pythagoras)定理。

埃及人也早已了解3²+4²=5²，他们做“竖琴”时，就利用边长为3，4，5的关系而得出直角。

直角三角形的三边，除了3、4、5的情况以外，还有没有其他的整数呢？有的。例如

5²+12²=13²，8²+15²=17²。

还有11、60、61等等，总之，满足方程x²+y²=z²的正整数组（x，y，z）就叫做一组勾股数组。

上面这个方程有三个未知数，它就有无数组解，也就是说，有无数多组勾股数，这种方程叫不定方程，很明显，若（x，y，z）是一组勾股数，那么，（kx、ky、kz）也是一组勾股数。还有，若x，y有公约数d，那么，d一定是z的约数，就是说，x，y与x，z及y，z的公约数一定相等。因此，我们平常只考虑x，y互素的情形，也就是x、y、z两两互素的情形。

若x，y，z两两互素，当然，它们中不能有两个偶数，能不能三个都是奇数呢？也不能。因为，若x，y，z都是奇数，可以表示成2p+1，2q+1，2r+l的形式，而

(2p+1)²+(2q+1)²=4(p²+q²)+4(p+q)+2≠(2r+1)²

因此，x，y，z中必定有一个也只能有一个是偶数。到底哪个是偶数？我们说，肯定不是z。因为，若z是偶数，x，y必定都是奇数，那么，

z²=(2r)²=4r²能被4整除，而

x²+y²=(2p+1)²+(2q+1)²=4(p²+q²+p+q)+2不能被4整除，这是不可能的。因此，偶数只能是x或y，总之，若x，y，z是一组两两互素的勾股数，x，y必定一奇一偶，必定是奇数。

x，y，z之间有什么关系呢？换句话说，怎样造出一组勾股数来呢？古今中外，许多数学家都在探讨这个问题。

公元前六世纪希腊数学家毕达哥拉斯的办法是：任取—个奇数，把它的平方数分为相差1的两个数，那么，这三个数就是一组勾股数组。就是说，取奇数2x+1，把它的平方数(2x+1)²=4x²+4x+1分成相差1的两数2x²+2x和2x²+2x+1，那么，2x+1，2x²+2x，2x²+2x+1就是一组勾股数。如取奇数67，把67²=4489分成相差1的两个数2244和2245，那么，67，2244，2245这三个数就是一组勾股数。

公元一世纪，我国古代著名数学著作《九章算术》中，提出了一个更妙的办法:若给了两个数m，n，那么(m²-n²)，mn，(m²+n²)就是一组勾股数，每次给的m，n不同，所得的勾股数组就不同，如m=7，n=3就得出勾股数组20，21，29，若m=5，n=3，就得出勾股数组8，15，17。公元三世纪的时候，大数学家刘徽用几何方法证明了这个公式。

公元三世纪希腊大数学家习藩都提出勾股数的公式是，mx-z，z，若令m=，z=u²+v²，

那么，就得到2uv，u²-v²，u²+v²。你看出来没有，它和《九章算术》的公式差一个系数2，而毕达哥拉斯的公式就是这个公式的一个特殊情形：u=z+1，u=z。

还有许多别的构造方法。

你也许会问，随便给两数m，n，或u，v，用上面的公式，是不是能把所有两两互素的勾股数都造出来呢？那可不一定。但是，我们只要把m，n和u，v加以限制，就行了。就是说，若m、n是两个互素的奇数，那么，用《九章算术》那个公式就能造出全部两两互素的勾股数组，因此，我们可以把它们叫做方程x²+y²=z²的通解公式。对同一组勾股数，可以用不同的公式求得。20，21，29既可以由《九章算术》公式令m=7，n=3求得，也可以用刁藩都的公式令u=5，v=2求出。你可以很容易推出这两个公式的变换关系，你会发现，条件也跟着变换。我们来试试看！