池塘中的芦苇有多高

陈明和张红、方华在昆明湖中划船，岸边有一棵芦苇露出水面。这棵芦苇有多长呢？这里水有多深呢？小明捉摸了一会，拿出尺来量了量芦苇露出水面的长度是11厘米，芦苇离岸边的距离是3米零1厘米，他又扯着芦苇顶端引到岸边，苇顶正好和水面相齐，陈明高兴地说，我可以算出芦苇的长度和水深。张红和方华感到奇怪：你怎么会算的呢？陈明说：“我叔叔有一本《九章算术》，那是汉朝的著作，离现在快两千年了，前天晚上，叔叔给我讲了其中一个题目，就是计算芦苇长度的。”接着，陈明给他的小伙伴讲了这个题目。

这个题是《九章算术》勾股章第六题。题目是：

有一个方池，每边长一丈，池中央长了一棵芦苇，露出水面恰好一尺，把芦苇的顶端引到岸边，苇顶和岸边水面刚好相齐，问水深、苇长各多少？

设池宽ED=2a=10尺，C是ED的中央，那么，DC=a=5尺，生长在池中央的芦苇是AB，露出水面的部分AC=1尺，而AB=BD，设BD=c，水深BC=b，△BDC是一个勾股形。显然AC=AB-BC=c-b=1尺，AC的长等于勾股形中弦和股的差，称为股弦差，于是，问题就变成了：已知勾股形的勾长和股弦差长，求股长和弦长。

由勾股定理得

a²=c²-b²，

那么，

a²-(c-b)²=c²-b²-(c-b)²

=c²-b²-(c²-2bc+b²)

=2bc-2b²

=2b(c-b)

所以

b=（1）

c=b+(c-b) （2）

将的数值代入（1）、（2）两式，很容易求出水深b=12尺，苇长c=l3尺，《九章算术》用非常精练的语言概括了这个解法：

半池方自乘，以出水一尺自乘，减之，余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭（苇）长。

这段话翻译成数学语言，就是（1）式和（2）式。