为什么正多面体只有五种

在一些结晶体中，常见到一些特殊形状的多面体，它们的每一个面是全等的正多边形，每一个多面角是全等的正多面角。象这些结晶体，都是正多面体。在建筑雕刻和工艺美术方面，正多面体的图形就见得更多了。尽管正多面体的图形见得多，但它的图形只有五种，这是为什么呢？

十七世纪，瑞士有一个杰出的数学家欧拉曾经证明了这个问题。

欧拉首先对一般多面体的面数、棱数、顶点数之间的相互制约的关系，指出了一些规律。令E表示多面体的棱数，V表示多面体的顶点数，F表示多面体的面数。他提出了一个函数解析式：E=V+F-2。为了表彰他的功绩，在数学上叫做欧拉公式。

这个欧拉公式，可用直观方法来推导：

任何一个多面体，都可以看成是由若干个多边形为面所拼合而成的。

如果先取一个n多边形的面，这样，有n个顶点和n条棱（多边形的边看成是多面体的棱）因此，E₁=V₁也就是=E₁+V₁+(1-1)。如果取两个多边形为面，这时必有一条棱重合且有两个顶点重合，因此，增加的棱数比增加的顶点数要多1。

所以E₂=V₂+1，也就是E₂=V₂+(2-1)。

如果取三个多边形为面，这时必有两条棱或三条棱重合，且有四个顶点重合，因此，增加的棱数总比增加的顶点数要多1。

所以E₃=V₃+2，也就是E₃=V₃+（3-1)。依次类推，可以得到：

E₄=V₄+（4-l)，E₅=V₅+(5—1)，……E_F-1=V_F-1+（F-1)-1。

因为多面体的面数为F，在F-l个面的基础上，如果再添上一个面，就是有F个面的多面体。但最后加上的第F个面的边，与原来F-1个面所组成的空间图形有关的棱是重合的，且顶点也是重合的，因此，棱数没有增加，顶点数也没有增加，所以，E_F=V_F+(F-1)-1，也就是E=V+F-2。

现在我们再来运用欧拉公式证明正多面体只有五种。

假设组成正多面体每个面的边数为m，那么，F个面共有mF条棱，但每一条棱为相邻两个面所公有，因此，

mF=2E。..........................（1）

假设组成正多面体的每一个顶点上的正多面角有n条棱，那么，V个顶点共有nV条棱，但每一条棱有两个顶点，因此 nV=2E。..........................（2）

所以 F=，V=，代入欧拉公式

则 E=+-2，

变形得..........................（3）

用正三角形为面构成的正多面体是怎样的呢？

由于多面角它的面角的和只能小于360°，而正三角形的内角是60°，因此，用正三角形组成的正多面角只可能有：正三面角，正四面角和正五面角三种，为什么不能组成正六面角？如果存在的话，那么，它的面角的和是6×60°=360°，这就拼成一个平面而不是一个多面角了。

因此，当m=3时若n=3，代入上面（1）、（3）两式可得：

E=6，F=4。

同理：若n=4，则E=12，F=8；

若n=5，则E=30，F=20。

这就是说:用正三角形为面，只能构成正四面体、正八面体、正二十面体三种。

用正方形为面构成的正多面体是怎样的呢？

正方形的内角是90°，因此，用正方形只能组成正三面角。

因此，当m=4，且n=3时，

代入（1）、（3）两式可得：

E=12，F=6。

这就是说，用正方形为面，只能构成一个正六面体。

用正五边形为面构成的正多面体又怎样的呢？

正五边形的内角是108°，因此，用正五边形只能组成正三面角。

因此，当m=5，且n=3时，代入（1）、（3）两式可得：

E=30，F=12。

这就是说，用正五边形只能构成一个正十二面体。

由此可见，正多面体只能包括正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体和正二十面体五种图形。