什么叫做贾宪三角形

让我们先看看下面这个表:

这个表就叫做贾宪三角形。

这个表有什么用呢？

它表示二项式a+b乘方，所得结果的各项依次排列的系数。

譬如 (a+b)¹=a+b，

它的两项的系数是1和1；

(a+b)²=a²+2ab+b²，

它的三项的系数依次是1、2、1；

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³，

它的四项的系数依次是1、3、3、1等。这样，根据这个表，我们就可以知道

(a+b)⁷=a⁷+7a⁶b+21a⁵b²+35a⁴b³+35a³b⁴+21a²b⁵+7ab⁶+b⁷。

如果我们要求(a+b)⁹的结果，只要把这个三角形再写下去两行，就可以得出各项依次的系数，因而可以写出(a+b)⁹的结果来。

至于第一行的1，是为了使三角形从一个数开始，所以写上的。但也有它的意义，那就是

(a+b)⁰=1。

我们知道，代数里对指数0是有定义的，那就是只要a+b≠0，

(a+b)⁰=1。

这一三角形是怎样排列出来的呢？仔细一看，就清楚了，它每下一行的数比上一行多1个，两边都是1，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和。例如第五行的4，就是第四行的3与1之和，6就是3与3之和。等等。

显然，它的各项的系数，就是前一行相应的前后两个项的系数的和。

这一法则，我国宋代数学家杨辉在1261年著作的《详解九章算法》十二卷里就提出了。而杨辉在这本书中引用了贾宪著的《开方作法本源》（就是指数为正整数的二项定理的系数表）和“增乘开方法”。因此，这个表叫做贾宪三角形。在欧洲，这一三角形叫做帕斯卡三角形。帕斯卡是在1654年研究这一规律的，比贾宪迟600年。