常系数非齐次线性微分方程特解 已知t,tlnt是微分方程x``-x`/t+x/t^2=0的解,求此方程的通解?回答过程尽量详细，微分方程这块我们没太讲。

已知t,tlnt是微分方程x``-x`/t+x/t^2=0的解,求此方程的通解?回答过程尽量详细，微分方程这块我们没太讲。  

已知t,tlnt是微分方程x``-x`/t+x/t^2=0的解,求此方程的通解?回答过程尽量详细，微分方程这块我们没太讲。

解法一：∵t和tlnt是原方程线性无关的两个特解
∴根据定理知，原方程的通解是
x=C1*tlnt+C2*t (C1,C2是积分常数)；
解法二：（去掉多余的已知条件“已知t,tlnt是微分方程x``-x`/t+x/t^2=0的解”，直接求解）
令z=lnt，则tx'=dx/dz，t²x''=d²x/dz²-dx/dz
∵x``-x`/t+x/t²=0
==>t²x''-tx'+x=0
==>(d²x/dz²-dx/dz)-dx/dz+x=0
∴d²x/dz²-2dx/dz+x=0..........(1)
∵方程(1)的特征方程是r²-2r+1=0，则r=1(二重根)
∴方程(1)的通解是x=(C1*z+C2)e^z (C1,C2是积分常数)
==>x=(C1*lnt+C2)t=C1*tlnt+C2*t
故原方程的通解是x=(C1*lnt+C2)t=C1*tlnt+C2*t (C1,C2是积分常数)。

d^(2)x/dt^2+x=t+e^t 求微分方程的通解。

先求出齐次方程d^(2)x/dt^2+x=0的通解：
因为s^2+1=0，s=i或s=-i
所以齐次方程的通解为C1(sint)+C2(cost)
现在求d^(2)x/dt^2+x=t+e^t的一个特解：
很明显，有一个特解x=t+(1/2)e^t
所以d^(2)x/dt^2+x=t+e^t 求微分方程的通解为：
t+(1/2)e^t+C1(sint)+C2(cost)

微分方程：用代入法解微分方程 dx/dt+tx^3+x/t=0

解：令z=1/x²，则代入原方程，化简得
dz/dt-2z/t=2t..........(1)
∵方程(1)是一阶线性微分方程
∴由通解公式，得
方程(1)的通解是z=t²(C+2ln│t│) (C是积分常数)
==>1/x²=t²(C+2ln│t│)
==>x²t²(C+2ln│t│)=1
故原方程的通解是x²t²(C+2ln│t│)=1 (C是积分常数)。

求解微分方程 dT/dt+C*T=E-B*T^4 求解此微分方程

这是个可分离变量的微分方程
dT/dt+C*T=E-B*T^4
dT/dt＝E-B*T^4－CT
dT/(E-B*T^4－CT)=dt
两边积分呀
那个E、B、C是常数增加了解题的难度。

求微分方程y’’-y’=x/2的通解。（要有过程）

y''-y'=x/2
两边积分转化为一阶微分方程
y'-y=x^2/4+C1
这是非齐次线性微分方程
先解y'-y=0
y'=y
dy/y=dx
lny=x+C2
y=C3*e^x
以关于x的函数u替代C3
y=ue^x
y'=ue^x+u'e^x
代入原式
y'-y=u'e^x=x^2/4+C1
du=1/4*(x^2*e^(-x)dx)+C1*e^(-x)dx
两边积分
u=-1/4∫x^2d(e^(-x))-C1e^(-x)
对第一项用二次分部积分法，udv=uv-vdu ，自己算下，不往下积了。
就能积出来u，然后y=u*e^x就是方程的通解。

求解微分方程：1=[f(1)-f(0)]*t^2+1/f'(x)，要详细过程。

令f(1)-f(0)=A,原式化为：f'(x)=1/(1-Ax^2);
(1)若A≤0,可得(1-Ax^2)≥1>0,故f'(x)>0,f(x)在R上递增,这与f(1)<f(0)（即A≤0)矛盾。
(2)若A>0,可得f(x)=∫1/(1-Ax^2)dx+C=(1/2)*∫1/(1-√Ax)+1/(1+√Ax)dx+C=(1/2√A)*ln[(1+√Ax)/(1-√Ax)]+C;
令x=0,f(0)=C;
令x=1,f(1)=(1/2√A)*ln[(1+√A)/(1-√A)]+C;
代入f(1)-f(0)=A：（1/2√A)*ln[(1+√A)/(1-√A)]=A；…………（1）
令√A=t,(1)式化为：ln(1+t)-ln(1-t)-2t^3=0;
令F(t)=ln(1+t)-ln(1-t)-2t^3,易证F'(t)>0,且F(t)=0;
因此t=0,即A=0，这与A>0矛盾。
综上，原微分方程实数域内无解。

微分方程dx(t)/dt=ax(t)^2+bx(t)+c 求解x(t)

1）分离变量法：
dx/(ax²+bx+c)=dt
∫dx/[(x-x1)(x-x2)]=at+C1
根据ax²+bx+c=0的根的三种情况，得到不同的解的形式：
两不同实根x1, x2: 则上式化为：1/(x1-x2)∫dx[1/(x-x1)-1/(x-x2)]=at+C1
得：ln[(x-x1)/(x-x2)]=(x1-x2)(at+C1)
两相等实根x1=x2, 则上式化为：∫dx/(x-x1)²=at+C1, 得：-1/(x-x1)=at+C1
两复数根p+qi, p-qi，则上式化为：∫dx/[(x-p)²+q²]=at+C1, 得：1/qarctan[(x-p)/q]=at+C1

2) 设p=y²， 则p'=2yy'
方程化为：x²p'+p=2
x²p'=2-p
dp/(2-p)=dx/x²
积分： -ln|2-p|=-1/x+C1
得:2-p=Ce^(1/x)
2-y²=Ce^(1/x)

求微分方程dy/dx+2y/x=sinx/x的通解的解题过程

解：∵dy/dx+2y/x=sinx/x
==>xdy+2ydx=sinxdx
==>x^2dy+2xydx=xsinxdx (等式两端同乘x)
==>d(yx^2)=-xd(cosx)
==>∫d(yx^2)=-∫xd(cosx) (积分)
==>yx^2=C-xcosx+sinx (应用分部积分法，C是常数)
==>y=(C-xcosx+sinx)/x^2
∴此方程的通解是y=(C-xcosx+sinx)/x^2。

∫上x下0[2f(t)-1]dt=f(x)-1的微分方程及初始条件，且求该微分方程的通解和特解 求解啊

∫<下0,上x> [2f(t)-1]dt=f(x)-1，
两边对 x 求导，得 2f(x)-1=f'(x),
初始条件 当 x=0 时， 0=f(0)-1, 即 f(0)=1.
记 y=f(x), 则 y'=2y-1, dy/(2y-1)=dx
(1/2)ln(2y-1)=x+(1/2)lnC
则通解为 2y-1=Ce^(2x)，
将 y(0)=1 代入，得 C=1，则
特解是 y=f(x)=[1+e^(2x)]/2。