为什么日常记数常用十进位制

自然数可以说是最“自然”的数了，古人为了一个一个地数参加劳动的人，数获得的猎物，“一、二、三、四……”就逐步产生了自然数。但是，如何给各个不同的自然数命名，并用特定的记号记下来，就不是那么“自然”的事了。人类对数的认识刚刚到了“十”的时候，用十个独立的名称来称呼它们，用十个独立的记号来记录它们，是不太困难的。但是，一旦对数的认识到了“百”、“千”、“万”，仍然沿用老的思路，发明一百个、一千个、一万个互相独立的名称来称呼它们，一百个、一千个、一万个互相独立的记号来记录它们，则几乎是不可能的——即使有人挖空心思造出这些名称和记号，大概他自己也无法记住和正确使用这些名称和记号，更谈不上数的运算了。这时候，把数按“进位制”进行命名和记录，是一个伟大的发明！

进位制，用现代数学语言来叙述，就是预先确定一个自然数p＞1，如果一个自然数满足pⁿ≤A＜pⁿ⁺¹就把它写成

A=a₀+a₁p+a₂p²+a₃p³+…+a_npⁿ(a_n≠0）

的形式，其中0≤a_i＜p。由p这样决定的进位制称为“p进位制”。如果预先选定p个不同的记号来记录从0到p-1这p个自然数，p进位制的自然数可以用“位置记数法”来记录，例如上面的A就记成A=a_na_n-1…a₁a₀，这里的每个a_i都是选定的p个记号之一。“位置记数法”是我国最早使用的，是我国古代对数学的重要贡献之一。

上面这段话可能不太好懂。但少年朋友可以想想p=10的情况。此时我们用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个记号代表从“零”到“十”的十个数，用“位置记数法”记出任何自然数。例如，347804，它实际上的意义是：

4+0×10+8×10²+7×10³+4×10⁴+3×10⁵。

显然，进位制的奇妙之处在于可以用有限个记号表示无穷无尽的数，并且很容易判断数的大小和进行数的运算。进位制的发明，使人类对数的认识和使用达到了新的境界。

少年朋友们不难注意到，尽管上面讲的进位制是非常一般的，可以用任何大于1的自然数作为进位的基础，但在我们日常生活中见到的进位制基本上都是“十进位制”。少年朋友们还可以想象得出，古人并不会像我们上面所讲的那样抽象地定义进位制，而实际上是发明了十进位制。为什么十进位制首先被发并且得到整个人类社会的公认呢？

其实道理很简单，那是因为我们的两只手共有十个手指头。

在生产力比较低下的远古时代，只需要进行简单的计数，人的双手十指自然地成为最早的“计算器”。古书上有一个成语，叫做“屈指可数”，可见最早的计数是用“屈指”来数的。这种习惯在现代社会还可以找到痕迹，如幼儿园的小朋友初学数数时就用手指头来数，即使成年人，也会扳着指头和别人谈论一些数字。当社会生产力得到发展，人们劳动的收获增多以后，就要数超过十的数了。这时，简单的“屈指计数”不能适应了。但是，人类依然不肯放弃十指这一使用起来得心应手的“计算器”，不过得找些辅助工具，例如，当双手的手指用完时，在地上搁一块石头或一根树枝，让手指伸直重新再用。经过许多次这样的反复计算和总结经验，人类就发明了十进位制了。

由此可见，十进位制是人类祖先根据生产和生活的需要，充分利用自身的条件，不断积累经验、总结经验而发明创造出来的。由于它与人类本身的这种天然的联系，它被人类社会广泛接受，并成为我们生活的密不可分的一部分。

在人类历史和现实社会中，还能见到其他进位制记数的踪影。例如，谈论角度时用的“六十进位制”，1度为60分，1分为60秒；我国以前的衡制中也有过“十六进位制”，1斤为16两（现已废弃）；“八卦”中可以见到“二进位制”和“八进位制”的雏形；国外还出现过“十二进位制”，12件物品称为1打，12打称为1箩。不过这些进位制使用范围都比较局限，远不如十进位制发展得那样完善。

人类现在已经发展到了以电子计算机为主导的信息时代。遗憾的是，与人本身有天然联系的十进位制却和计算机没有天然的联系。与电子计算机有天然联系的进位制是二进位制，它已得到越来越广泛的应用。

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