镶嵌图有多少种

在生活中，我们常可看到由各种图形拼合而成的美丽的图案，人们称它为“镶嵌图”。图形的镶嵌是一件需要技巧和学问的事情。这里我们讨论一下镶嵌图有多少种的问题。

镶嵌图要求每一交叉点周围的各角之和都为360％这样才能铺满平面而无空隙。如果全部使用边长相同的各种正多边形，对某一交叉点来说，其周围正多边形的种类、块数和顺序的变化情况有许多种，但毕竟是有限的。

正多边形内角最小是60％最大不超过180％因此某一交叉点周围的正多边形块数只有3、4、5、6这四种可能。

先说3块的情形：设此3块正多边形的边数分别为x、y、z，则与之对应的每一内角分别为

$\frac{{\left( {x - 2} \right)180^\circ }}{x}\frac{{\left( {y - 2} \right)180^\circ }}{y}\frac{{\left( {z - 2} \right)180^\circ }}{z}$。

它们拼成一周角，因而有

$\eqalign{ & \frac{{\left( {x - 2} \right) \times 180^\circ }}{x} + \frac{{\left( {y - 2} \right) \times 180^\circ }}{y} + \frac{{\left( {z - 2} \right) \times 180^\circ }}{z} \cr & {\text{ = }}360^\circ \cr} $。

整理得

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}{\text{ = }}\frac{1}{2}$。

不考虑x、y、z顺序，此方程共有10组正整数解：

（3，7，42）；（3，8，24）；（3，9，18）；（3，10，15）；（3，12，12）；（4，5，20）；（4，6，12）；（4，8，8）；（5，5，10）；（6，6，6）。

用同样方法对4、5、6块情形逐个讨论，有下述结论：

4块情形，有4组解：

（3，3，4，12）；（3，3，6，6）；

（3，4，4，6）；（4，4，4，4）。

5块情形，有2组解：

（3，3，3，3，6）；（3，3，3，4，4）。

6块情形，只有1组解：

（3，3，3，3，3，3）。

综上所述，对某一交叉点来说，其周围正多边形的边数配置状况共有17种。

请注意，这并不等于说，正多边形镶嵌图只有17种。因为上述讨论是对某一交叉点来说的，为使铺满平面而无空隙，就要进一步考虑它们相互之间能否拼合起来。事实上，上述17种中，下列6种无论怎样都不能拼合：

（3，7，42）；（3，8，24）；（3，9，18）；

（3，10，15）；（4，5，20）；（5，5，10）。

而对于另外11种来说，它们都是由正三、四、六、八、十二边形组成的，都可以镶嵌成整个平面。不过，由于每一种情形的镶嵌图不都是唯一的，因此还需作进一步的讨论。

上述11种拼合时可分成下列4种类型：

1.用同一边数的正多边形拼成的，叫做“正镶嵌图”。如图1～3，只有3种：

（6，6，6）；（4，4，4，4）；（3，3，3，3，3，3）。

2.不是用同一边数的正多边形拼成，但在每一交叉点周围的正多边形的种类、块数与顺序都相同的，叫做“半正镶嵌图”。如图4～9，共有6种：

（3，12，12）；（4，8，8）；（3，3，6，6）；

（3，4，4，6）；（3，3，3，3，6）；（3，3，3，4，4）。

3.不是用同一边数的正多边形拼成，但在每一交叉点周围的正多边形的种类、块数都相同，仅仅顺序不同的，叫做“均匀镶嵌图”，如图10～13。这种类型的镶嵌图尽管在某交叉点周围的正多边形，其组合顺序的方法是有限的，但是各种不同组合方法的交叉点之间的相互位置变化是无穷的，因此均匀镶嵌图有无穷多种。

例如，将图11中间一横排往右移“一格”，便成另一种均匀镶嵌图。这样，每隔1，2，3，…横排，往右平移“一格”，便可以得到无穷多个均匀镶嵌图。

4.各交叉点周围正多边形的种类不全相同，而且块数也不全相同的，叫做“非均匀镶嵌图”，如图14～21。它们也有无穷多种。

例如，在图18横行间分别插入1，2，3…排正方形，便可得到无穷多个非均匀镶嵌图。

除上述镶嵌图外，用三角形、四边形等非正多边形，或某些曲边图形（如图22、23），还可精巧构思成形形色色美观悦目的镶嵌图。