怎样查出被虫鼠咬掉的文件里原来的数字

研究历史的学者，常常要根据旧文献作细致的考证工作。譬如，我国资本主义萌芽因素问题，固然从明清以来的书籍中可以知道一些当时社会的情况，然而象当时的田赋、发票、帐单、当票等原始材料，对历史学家来说，是重要的第一手资料。

可惜这些原始资料，往往由于年代久远，保存不善，有的字迹已经磨灭，有的被老鼠或蛀虫咬掉了，弄得残缺不全，字迹模糊难辨。有什么办法能够了解它们本来的面目呢？这时候，数学家也许有可能帮助历史学家来弄清它们的本来数字。

有一位学者在研究清朝康熙年间湖广地区的米价时，看到一张发票，被老鼠咬了几个洞，只留下来一部分字迹，可是，看不出这张发票上所开的每担米价是多少。为了搞清楚这个问题，根据一些残存的数字，应用数学就可以把它准确无误地算出来。

他是怎样计算出来的呢？你仔细地看一看下面的计算，就清楚了。

设每担米价为银x分，共计价格为银y两二钱七分，则得到不定方程如下：

153x=100y+27

不定方程的解法很多，主要是连分数法，本题可以求出它的一般解为

（t=0，±1，±2，……）

根据史书上其他资料的旁证，当时每担米价在银一两以内，所以在解中应舍弃一些数字太大或太小的解，只有当t=-4时，工的数值才小于100，所以取t=-4，则

因此，当时每担米的价格为银5钱9分；153担的价格，共计为银90两2钱7分。

上面是一般性的解法，其实，就本题来说，还有一个更简单的解法：

设白米的价格以分为单位，按照发票上残存的字迹，可以排出下列的算式：（草式中的*号表示看不出的数字）。

现在我们只要运用算术知识，就可以猜出这些未知的数字来。

首先，我们来看一下乘数的末位数字，显然，它一定等于9，否则它与被乘数末位数字3相乘，所得积的末位是不会等于7的。知道了乘数的末位数字是9，就把它乘出来，得到下面的式子：

现在我们再来看算式中的第四列数字，显然，这一排数字的末位数字一定是5，否则，它与7相加的结果，末位是得不到2的。而一个数字与3相乘的积，末位要等于5，这个数字一定等于5，因此，我们就确定了乘数的十位数字是5。既然被乘数和乘数都已经知道了，那么，这个算式中的未知数都可以算出来了。

因此，这张发票的原来面目是：当时白米的每担价格为银钱9分；153担的价格，共计银90两2钱7分。

显然，这种方法比起上面的一般性解法要容易得多了。有人以为这种方法立足于“猜”，不足为训。但是“猜”也是根据数的性质，按照严格的逻辑推理循序渐进的。国内外数学竞赛的试题中，同类问题层出不穷，应当引起我们的注意。