f(x)=x/lnx图像 已知f（x）是单调减函数，若将方程f（x）=x与f（x）=f -1 （x）的解分别称为函数f（x）的不动点与稳定点

已知f（x）是单调减函数，若将方程f（x）=x与f（x）=f -1 （x）的解分别称为函数f（x）的不动点与稳定点  

已知f（x）是单调减函数，若将方程f（x）=x与f（x）=f -1 （x）的解分别称为函数f（x）的不动点与稳定点

一方面：若x是f（x）的不动点，
则f（x）=x，即函数y=f（x）与直线y=x的交点的横坐标为x，
因为原函数与反函数的图象一定要关于直线y=x对称，
故反函数的图象一定要过函数y=f（x）与直线y=x的横坐标为x交点，
即f（x）=f -1 （x）的解是x，
故”x是f（x）的不动点?“x是f（x）的稳定点“；
另一方面：x是f（x）的稳定点，
即f（x）=f -1 （x），即函数y=f（x）与y=f -1 （x）的交点的横坐标为x，
因为原函数与反函数的图象的交点不一定在直线y=x上，
故原函数的图象不一定要过函数y=f（x）与反函数的图象的交点，
即x不一定是方程f（x）=f -1 （x）的解
故”x是f（x）的稳定点“不能?”x是f（x）的不动点“
则x“是f（x）的不动点”是“x是f（x）的稳定点”的“充分不必要条件．
故选B．

已知函数y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x 0 称为函数f（x）的不动点；若a 1 ∈D，a n+1 =f（a n ）

（1）

4x+2 x+3 =x，即x 2 -x-2=0，得x 1 =-1，x 2 =2，
所以函数g（x）的不动点为x 1 =-1，x 2 =2．
（2）：a 1 =3，a n+1 =g（a n ）=

4 a n +2 a n +3

，设c n =

a n +1 a n -2

，
则c n+1 =

a n+1 +1 a n+1 -2

=

5 a n +5 2 a n -4

=

5 2 a n +1 a n -2

=

5 2

c n ，c 1 =

a 1 +1 a 1 -2

=4．
所以数列{

a n +1 a n -2

}是等比数列，公比为

5 2

，首项为4．

a n +1 a n -2

=4? (

5 2

) n-1 得a n =

8? 5 n-1 + 2 n-1 4? 5 n-1 - 2 n-1

．

lim n→∞

a n =

lim n→∞ 8? 5 n-1 + 2 n-1 4? 5 n-1 - 2 n-1

=

lim n→∞ 8+ (

2 5

) n-1

4- (

2 5

) n-1

=2．
（3）：h（x）=

ax+b cx+d

=x，即cx 2 +（d-a）x-b=0．
因为△=（d-a） 2 +4ac＞0，所以该方程有两个不相等的实数根x 1 ，x 2 ．
b 1 =p，b n+1 =h（b n ）=

a b n +b c b n +d

，

b n+1 - x 1 b n+1 - x 2

=

a b n +b c b n +d

-

a x 1 +b c x 1 +d a b n +b c b n +d

-

a x 2 +b c x 2 +d

=

c x 2 +d c x 1 +d

?

b n - x 1 b n - x 2

，
则{

b n - x 1 b n - x 2

}是等比数列，首项为

p- x 1 p- x 2

，公比为

c x 2 +d c x 1 +d

．
因为

b n - x 1 b n - x 2

=

p- x 1 p- x 2

（

c x 2 +d c x 1 +d

） n-1 ，所以

b n+T - x 1 b n+T - x 2

=

p- x 1 p- x 2

（

c x 2 +d c x 1 +d

） n+T-1 ．
数列{b n }为周期数列的充要条件是（

c x 2 +d c x 1 +d

） n-1 =（

c x 2 +d c x 1 +d

） n+T-1 ，即（

c x 2 +d c x 1 +d

） T =1．
故|

c x 2 +d c x 1 +d

|=1，但x 1 ≠x 2 ，从而cx 2 +d=-cx 1 -d．x 1 +x 2 =-

2d c

=-

d-a

已知函数y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x0称为函数f（x）的不动点；若a1∈D，an+1=f（an）（n∈N*）

（1）

4x+2 x+3

=x，即x2-x-2=0，得x1=-1，x2=2，
所以函数g（x）的不动点为x1=-1，x2=2．
（2）：a1=3，an+1=g（an）=

4an+2 an+3

，设cn=

an+1 an?2

，
则cn+1=

an+1+1 an+1?2

=

5an+5 2an?4

=

5 2 an+1 an?2

=

5 2

cn，c1=

a1+1 a1?2

=4．
所以数列{

an+1 an?2

}是等比数列，公比为

5 2

，首项为4．

an+1 an?2

=4?(

5 2

)n?1得an=

8?5n?1+2n?1 4?5n?1?2n?1

．

lim n→∞

an=

lim n→∞ 8?5n?1+2n?1 4?5n?1?2n?1

=

lim n→∞

已知函数y=f（x），方程f（x）=x的根x0称为函数f（x）的不动点；若a1∈D,an+1=f(an)(n∈N* ),则称｛an｝为

1、ad-bc≠0说明 (ax+b)/(cx+d)不等于常数；(d-a)2+4bc>0说明x=(ax+b)/(cx+d)有两个不同的跟。
2、如果x1、x2是x=(ax+b)/(cx+d)两个根，必定有c*x1^2-a*x1=b-d*x1 -------式子(1)(x2一样道理)
3、bn+1=f(bn)，如果b1=x1或x2，那么bn恒等于x1或x2，必定是周期函数，所以此时只需要条件b1=x1或x2；
4、bn+1 - x1= (a*bn+b)/(c*bn+d) - x1 = [(a-c*x1)(bn-x1)] / (c*bn+d)，用到上面式子(1)化简
bn+1 - x2= (a*bn+b)/(c*bn+d) - x2= [(a-c*x1)(bn-x2)] / (c*bn+d)，用到上面式子(1)化简
两式相比，(bn+1 - x1) / (bn+1 - x2) = (a-c*x1) / (a-c*x2) * (bn-x1) /( bn-x2) ，这样就像等比数列
那么就可以求得，(bn - x1) / (bn - x1) =[ (a-c*x1) / (a-c*x2) ] ^ (n-1) * [(b1-x1)/(b2-x2)]
我们可以把它看成，(bn - x1) / (bn - x1) = k*q^n ，其中k,q都是可以求出来的数来的。
5、如果bn是周期函数bn+T=bn，那么必定有
(bn+T - x1) / (bn+T - x1) = k*q^(n+T)
由于k*q^(n+T) =k*q^n * q^T =q^T*(bn - x1) / (bn - x1)=q^T*(bn+T - x1) / (bn+T - x1)
那么必有， (bn+T - x1) / (bn+T - x1)=q^T*(bn+T - x1) / (bn+T - x1)
由于bn不等于x1或x2，所以q只能等于 正负1
i)如果q=1代入第4步所表示的数，可以知道x1=x2，与题目判别式不合，矛盾；
ii)如果q= -1代入第4步所表示的数，可以知道a= -d ，但是此时的周期一定是偶数；
6、最后，充要条件是：i)b1为x1或x2； ii)a= -d
以上求解过程不知道有没有算错，思路就这样子了。

方程f（x）=x的根称为函数f（x）的不动点，若函数f（x）=xa(x+2)有唯一不动点，且x1=1000，xn+1=1f(1xn)

由

x a(x+2)

=x得ax2+（2a-1）x=0．
因为f（x）有唯一不动点，
所以2a-1=0，即a=

1 2

．
所以f（x）=

2x x+2

．所以xn+1=

1 f(

1 xn

)

=

2xn+1 2

=xn+

1 2

．
所以x2011=x1+

1 2

×2010=1000+

1 2

×2010=2005．
故选：A．

方程f（x）=x的根称为f（x）的不动点，若函数f（x）= 有唯一不动点，且x 1 =1000，x n+1 = （n∈N*），

2005

已知函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的"不动点":若f(f(x))=x,则称x为f(x)的"稳

不动点即为f(x) 与直线y=x的交点；若f(x)上（x, f(x)）是稳定点，则必有（f(x),x）在f(x)上，即f(x)上的稳定点关于直线y=x对称。
（1）单调增函数时，有A=B。
证明：设f（x）上的点（x，x）属于A，则有 f(x) = x，从而 f(f(x)) = f(x)=x，故（f(f(x)), x)在f（x）上，即A上的所有点都在B上；
假设B中存在点（x，y）不在A中，则 x不等于y，不妨设x<y，此时有 f(f(x)) = x ，即 f（y）=x < y = f（x），即f（x）> f（y），与函数是单调增函数矛盾，x>y时同理。故假设不成立。
综上可得A=B。
（2）
①|A|=0表示二次函数曲线与直线y=x无交点，此时曲线无根据y=x对称的点，故|B|=0。
②不一定。

将函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，A={x|f(x)=x},B={f[f(x)]=x。求证A是B的子集

设x是函数的不动点，则显然有f(x)=x
那么f[f(x)]=f(x)=x
由题意x也是函数的稳定点
又x任意，所以对于任意x∈A,都有x∈B
所以A是B的子集

已知函数f（x）=x2-（a+2）x+a+1，函数g(x)＝118x?a24?32，称方程f（x）=x的根为函数f（x）的不动点，（1

（1）由题意，有x2-（a+2）x+a+1=x在[0，3]上有2个不同根．
移项得x2-（a+3）x+a+1=0
∴

△＝(a+3)2?4(a+1)＝a2+2a+5＞0 0＜

a+3 2

＜3

a+1≥0 9?3(a+3)+a+1＝?2a+1≥0

解得：?1≤a≤

1 2

（2）易知B＝[?

1 8

?

a2 4

，

11 8

a?

1 4

a2?

3 2

]
①当

a+2 2

≥a，即1＜a≤2时，f（x）在[1，a]上单调递减 A=[f（a），f（1）]=[-a+1，0]?B
∴

?

1 8

?

a2 4

≤?a+1

11 8

a?

a2 4

?

3 2

≥0

解得：

3 2

≤a≤2．

②当a＞2时，f（x）在[1，

a+2 2

]上递减，在[

a+2 2

，a]上递增．f（a）=-a+1＜0=f（1）．
∴A＝[f