矩阵ABC等于E 已知△ABC为等边三角形，椭圆D与双曲线E均以A，B为焦点，且都经过线段BC的中点M，则椭圆D与双曲线E的离心

已知△ABC为等边三角形，椭圆D与双曲线E均以A，B为焦点，且都经过线段BC的中点M，则椭圆D与双曲线E的离心  

已知△ABC为等边三角形，椭圆D与双曲线E均以A，B为焦点，且都经过线段BC的中点M，则椭圆D与双曲线E的离心

设等边三角形△ABC的边长为2，
则MA=

3 2

×2＝

3

，MB=1，
对于椭圆D，有MA+MB=2a=

3

+1，2c=2，
则离心率为e1=

c a

＝

3

?1，
对于双曲线E，MA-MB=

3

-1=2a′，2c=2，
则离心率为e2=

c a′

＝

3

+1，
则e1e2=（

3

?1）（

3

+1）=2．
故选：B．

已知椭圆 与双曲线 共焦点，则椭圆 的离心率e的取值范围为 [ ] A. &nb...

A

已知双曲线与椭圆 x 2 27 + y 2 36 =1 有相同的焦点，且双曲线与椭圆的一

因为椭圆

x 2 27 +

y 2 36

=1 的焦点为F 1 （0，-3），F 2 （0，3），
故可设双曲线方程为

x 2 a 2

-

y 2 b 2

=1(a＞0，b＞0)，且c=3， a 2 + b 2 =9 ．
由题设可知双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，将y=4代入椭圆方程得双曲线与椭圆的交点为 (

15

，4)，(-

15

，4)，因为点(

15

，4)[或(-

15

，4)] 在双曲线上，所以有

16 a 2

-

15 b 2

=1 ．

解方程组

a 2 + b 2 =9 16 a 2

-

15 b 2

=1.

得

a 2 =4 b 2 =5. 故所求双曲线的方程为

y 2 4

-

x 2 5

=1.

又 a 2 =4， b 2 =5，则a=2，b=

5

，

所以双曲线的渐近线方程为y=±

a b

x=±

2 5 5

x.

已知等边△ABC中，D、E分别是CA、CB的中点，以A、B为焦点且过D、E的椭圆和双曲线的离心率分别为e 1 、e 2

设正三角形的边长为m，则
椭圆中焦距2c=AB=m，2a=DA+DB=

m 2 +

3 2

m
∴椭圆的离心率e 1 =

c a

=

m m 2

+

3

m

2

=

3

-1；
双曲线中2c′=AB=m，2a′=DB-DA=

3

-1

2

m ，
∴双曲线的离心率e 2 =

c′ a′

=

m 3

-1

2

m

=

3

+1，
∴e 2 +e 1 =2．
故选A．

已知双曲线与椭圆X??/36+Y??/49=1有公共的焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为3/7，求双曲线

由椭圆X/36+Y/49=1，可知椭圆焦点在y轴上，而a =49 ，b =36 ，因此c = 13 ，所以焦点为 ： C1（0 ,√13），C2（0 , -√13）而椭圆的离心率为 ：e = C / a = 13 / 49. 因为椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为3/7，所以双曲线的离心率为 ：e = C / a =13 / 9 ，即 a = 9 ，b = 4，由于焦点在y轴上，所以双曲线的方程为y/9 - x/4 = 1 .

已知椭圆E:x^2/a2+y^2/b2=1(a,b>0)与双曲线G：x^2-y^2=4，若椭圆E的顶点恰为双曲线G的焦点，椭圆E的焦点恰

用韦达定理

已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 的焦点与顶点，若双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为 [

B

已知F1、F2是双曲线C：x2-y215=1的两个焦点，若离心率等于45的椭圆E与双曲线C的焦点相同．（1）求椭圆E的

（1）∵F1、F2是双曲线C：x2-

y2 15

=1的两个焦点，∴c=

1+15

=4
不妨设F1（-4，0）、F2（4，0）．
∵椭圆E与双曲线C的焦点相同．
∴设椭圆E的方程为

x2 a2

+

y2 b2

=1（a＞b＞0）
∵根据已知得

c=4 c a

=

4 5 b2=a2-c2

，解得

c=4 a=5 b2=9

∴椭圆E的方程为

x2 25

+

y2 9

=1
（2）直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．
理由是：
∵动点P（m，n）满足|PF1|+|PF2|=10，∴P（m，n）是椭圆E上的点，
∴

m2 25

+

n2 9

=1，∴n2=9-

9 25

m2，0≤m2≤25
∵曲线M是圆心为（0，0），半径为r=

已知正三角形ABC,若M,分别是AB,AC中点,则以B,C为焦点，且过M,N的椭圆与双曲线的离心率之积为

设三角形边长为2
椭圆：
2c=2
2a=1+根3
e1=2/(1+根3)
双曲线
2c=2
2a=根3-1
e2=2/(根3-1)
e1*e2=2

已知双曲线C与椭圆9x 2 +25y 2 =225有相同的焦点，且离心率e=2．（1）求双曲线C的方程；（2）若P为双曲线

（1）设双曲线C的方程为

x 2 a 2 -

y 2 b 2

=1 (a＞0，b＞0)
椭圆 9 x 2 +25 y 2 =225 可化为

x 2 25

+

y 2 9

=1
∴ c=

25-9

=4
∵ e=

c a

=2 ∴a=2
∴b 2 =c 2 -a 2 =16-4=12
∴所求双曲线方程为

x 2 4

-

y 2 12

=1 （6分）
（2）由已知得

|P F 1 |-|P F 2  =4                    ① |P F 1 |  2 +|P F 2 |  2 =| F 1 F 2 |  2 =64   ②

，
②-① 2 得2|PF 1 |?|PF 2 |=48
∴|PF 1 |?|PF 2 |=24
∴ S △P F 1 F 2 =

1 2

|P F 1 | ? |P F 2 | =12 （12分）