D是等边三角形ABC上一动点 在三角形ABC中，D是BC边上的任意一点。求证：AD

在三角形ABC中，D是BC边上的任意一点。求证：AD>

在三角形ABC中，D是BC边上的任意一点。求证：AD<2分1（AB+AC+BC)

在三角形ABD中，AD<AB+BD（1）（三角形两边之和大于第三边）。在三角形ABD中　AD<AC+DC（2）（三角形两边之和大于第三边）。（1）+（2）得：AD+AD<AB+BD+AC+DC(不等式的性质)又BD+DC＝BC所以２AD<AB+BC+AC所以AD<１/２AB+BC+AC

在三角形ABC中AC＞AB,AD是BC边上的高，E是AD上任意一点。 求证：AC^2－AB^2=CE^2－BE^2

∵AD是BC边上的高
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴AC²-AB²
=(AD²+CD²﹚-﹙AD²+BD²﹚
=CD²-BD²
CE²-BE²
=(CD²+DE²﹚-﹙BD²+DE²﹚
=CD²-BD²
∴AC²-AB²=CE²-BE²

在三角形abc中,角bac=90°,ab=ac,点d是bc边上的任意一点,求证bd2+cd2=2ad2

证明：
过A作AH⊥BC于H，
根据对称性，不放设D在线段BH上，
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AH=BH=CH
∴BD²+CD²
=(BH-DH)²+(CH+DH)²
=BH²+DH²-2BH*DH+CH²+DH²+2CH*DH
=AH²+DH²+AH²+DH²
=AD²+AD²
=2AD²
得证

:三角形ABC中,AD为BC边上的中线。求证:AD<AB+AC

延长AD至E，使DE=AD。由AD为BC边上的中线可知，四边形ABEC是平行四边形。所以BE=AC，因此AB+AC=AB+BE>AE=2AD。于是原结论成立。

三角形ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，求证：AB^2-AD^2=BD*DC

过三角形的顶点A做AE⊥BC，交BC于E，
根据勾股定理，
AB＾2＝AE＾2＋BE＾2，
AD＾2＝AE＾2＋ED＾2
AB^2-AD^2＝AE＾2＋BE＾2－AE＾2－ED＾2
＝BE＾2－ED^2
=(BE+ED)(BE-ED)
=BD*(EC-ED)
=BD*DC
（等腰三角形的底边上的高就是底边上的中线，所以，BE＝CE）

在三角形ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，Ｐ是BC上任意一点，PE平行于AB交AC于E，

由于PF∥AC,容易证明△BPF∽△BCA,进而得到比例关系:BP:BC=PF:AC, PF=(BP/BC)AC=(t/2)AC————⑴ 同理,由PE∥AB,可以求出: PE=(PC/BC)AB=[(2-t)/2]AB————⑵ 由于PF∥AC且PE∥AB,可以得知,四边形AFPE为平行四边形,∴∠A=∠FPE————⑶ 而由已知两边和夹角的三角形面积公式,可知: △PEF面积=(1/2)PE*PF*sin∠FPE ⑴⑵⑶代入上式,得: △PEF面积=(1/2)PE*PF*sin∠FPE =(1/2)*[(t/2)AC]*{[(2-t)/2]AB}*sin∠A =(1/2)AC*AB*sin∠A*[(2t-t^2)/4] =△ABC面积*[(2t-t^2)/4] 其中△ABC面积=(1/2)*AD*BC=1 故:△PEF面积=(2t-t^2)/4 这个二次项系数为负,开口向下,在对称轴处(t=1)取得最大值, 所以:△PEF面积max=(2*1-1^2)/4=1/4 此时,t=1,即BP=1,P为BC中点。 设BP=x,cp=2-x 因为平行,所以相似 所以S三角形BPF:S三角形ABC=x^2:2^2 S三角形CPE:S三角形ABC=(2-x)^2:2^2 因为S三角形ABC=1 所以S三角形BPF=x^2/4 S三角形CPE=(2-x)^2/4 所以S四AFPE=1-x^2/4-(2-x)^2/4 所以S三角形PFE=S四AFPE/2=-1/4(x-1)^2 1/4 当x=1时,S三角形PFE最大=1/4 所以,p在BC中点

在三角形ABC中,AB=AC=5,P为BC边上的任意一点,求证AP·AP+PB·PC=25

证：过A作直线AE⊥BC交BC于E点，设P点在B、E两点之间，已知AB=AC=5，则BE=CE=（PB+PC）/2，
PE=BE-PB=（PB+PC）/2-PB=（PC-PB）/2
在直角△ACE和直角△AEP中，根据勾股定理，得下方程组：
AE^2 +CE^2 =AE^2 +（PB+PC）^2 /4=AC^2=25 ......(1)
AE^2 +PE^2 =AE^2 +（PC-PB）^2/4=AP^2 ......(2)
(1)-(2)得
（PB+PC）^2 /4-（PC-PB）^2/4=25-AP^2
PB*PC=25-AP^2
故AP^2+PB*PC=25
即AP平方+PB*PC=25

在三角形ABC中,AB=AC,若P是BC边上任意一点,求证BP*CP=AB2-AP2

作AD垂直BC于D
由于是等腰三角形，所以BD=DC
根据勾股定理：
AB2-AD2=BD2
AP2-AD2=PD2
所以
AB2-AP2=AB2-AD2-AP2+AD2=BD2-PD2=（BD+PD）*（BD-PD）
BD+PD=DC+PD=PC
BD-PD=BP
所以AB2-AP2=BP*PC

任意三角形ABC中，点D为BC边上任意一点，求证AB²×DC+AC²×BD-AD²×BC=BD×

1､
若点E与B(或C)重合
则:(AB²-AD²)×DC+(AC²-AD²)×BD
=(AC²-AD²)×BD-(AD²-AB²)×DC
=[(AB²+BC²)-(AB²+BD²)]×BD-BD²×DC
=(BC²-BD²)×BD-BD²×DC
=(BC+BD)(BC-BD)×BD-BD²×DC
=(BC+BD)DC×BD-BD²×DC
=BD×DC×(BC+BD-BD)
=BC×DC×BD
2､
若点E在BC的延长线上
则:(AB²-AD²)×DC+(AC²-AD²)×BD
=[(AE²+BE²)-(AE²+DE²)]×DC+[(AE²+CE²)-(AE²+DE²)]×BD
=(BE²-DE²)×DC+(CE²-DE²)×BD
=(CE+DE)(CE-DE)×BD-(DE+BE)(DE-BE)×DC
=(CE+DE)DC×BD-(DE+BE)BD×DC
=BD×DC×[CE+DE-(DE+BE)]
=BC×DC×BD
3､
若点E在BC上
则:(AB²-AD²)×DC+(AC²-AD²)×BD
=[(AE²+BE²)-(AE²+DE²)]×DC+[(AE²+CE²)-(AE²+DE²)]×BD
=(BE²-DE²)×DC+(CE²-DE²)×BD
=(DE+BE)×BD×DC+(CE-DE)×DC×BD
=BD×DC×(DE+BE+CE-DE)
=BC×DC×BD
综上所述AB²×DC+AC²×BD-AD²×BC=BC×DC×BD

在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,求证AB+AC<2AD

不可能
应该AB+AC>2AD
证明：延长AD到P，做AD=DP
因为：D为BC，AD中点
所以：四边形ABPC为平行四边形
所以：AC=BP，AP=2AD
因为：在三角形ABP中，AB+BP>AP(两边之和>第三边
所以：AB+AC>2AD