求f(x)的方法 求函式f(x)=(x-1)²(x+1)³的单调区间与极值？

求函式f(x)=(x-1)²(x+1)³的单调区间与极值？  

函式f(x)=(x-1)²(x+1)³的单调区间与极值怎么算？

f(x)=(x-1)^2 * (x+1)^3
f'(x) = (x-1)^2 * 3(x+1)^2 + (x+1)^3 * 2(x-1) = (x+1)^2 * (x-1) * { 3(x-1)+2(x+1) }
= (x+1)^2 * (x-1) * (5x-1)
= 5(x+1)^2 * (x-1/5) * (x-1)
x＜1/5或x＞1时,f'(x)＞0,f(x)单调增；1/5＜x＜1时,f'(x)＜0,f(x)单调减少
∴单调增区间：（-无穷大,1/5）U（1,+无穷大）；单调减区间（1/5,1)
x=1/5时有极大值f(1/5) = (1/5-1)^2 * (1/5+1)^3 = 3456/3125
x=1时有极小值f(1) = 0

求函式f(x)=(x-1)x^(2/3)的单调区间，极值。

先求导数
f'(x)=x^(2/3)+2(x-1)/(3×x^(1/3))
=[ x+5x/3-2/3] /(x^(1/3))
令f'(x)＝0,得x=2/5
（1）在x>0时
－－当0<x<2/5时,f'(x)<0,f(x)单调减
－－当x>2/5时,f'(x)>0,f(x)单调增
所以x＝2/5为极大值点.
（2）在x<0时
－－f'(x)>0,f(x)单调增
又原函式在x＝0处有定义且连续,因此在x=0处有极大值点.
影象如图所示

求函式f(x)=x/1+x²的单调区间于极值

解：
f(x)=x/(1+x²)
f '(x)=[(1+x²)-x·2x]/(1+x²)²
=(1-x²)/(1+x²)²
令f '(x)=0
得1-x²=0
解得x1=-1，x2=1
当x＜-1时，f '(x)＜0，为减函式
当-1＜x＜1时，f '(x)＞0，为增函式
当x＞1时，f '(x)＜0，为减函式
故f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=-1/2
f(x)在x=1处取得极大值f(1)=1/2
单调增区间(-1,1)
单调减区间(-∞，-1]U[1，+∞)

f(x)=ln x -x +1 求函式的单调区间与极值

（1）求定义域，x>0
(2)求导，f'(x)=1/x-1
当0<x<1时，f'(x)>0,所以f(x)单调递增
当x>1时，f'(x)<0,f(x)单调递减
当x=1时，f(x)有极值f(x)=0

设函式f（x）=sinx-cosx+x+1，求函式f（x）的单调区间与极值

由已知得f′(x)＝1+

2

sin(x+

π 4

)，
由三角函式性质得f'（x）为x=-π+2kπ，T=2π的周期函式，
令f'（x）=0，1+

2

sin(x+

π 4

)＝0，
解得x＝?

π 2

+2kπ或x＝?

π 2

+2kπ，k∈Z

x (?π+2kπ，?

π 2

+2kπ)

?

π 2

+2kπ

(?

π 2

+2kπ，π+2kπ)

π+2kπ f'（x） - 0 + 0 f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值

由上表知，f（x）的单调递减区间为(?π+2kπ，?

π 2

+2kπ)，单调递增区间为(?

π 2

+2kπ，π+2kπ)，k∈Z．
极小值为f(?

π 2

+2kπ)＝?

π 2

+2kπ，极大值为f（π+2kπ）=π+2kπ+2．

设函式f(x)=ln(x+1)–mx,①当m=1,求函式单调减区间②求极值

①f(x)=ln(x+1)-x，f'(x)=1/(x+1)-1=-x/(1+x)
当x∈(-1,0)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(0,+∞)时，f'(x)<0，f(x) 单调递减.
②f'(x)=1/(x+1)-m=(-mx+1-m)/(1+x).
m<0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，无极值.
m=0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，无极值.
m>0时，f(x)在(-1,1/m-1)上单调递增，f(x)在(1/m-1,+∞)上单调递减，所以f(x)在1/m-1处取得极大值.下略

求函式f（x）=（x-4）3√（x+1）^2的单调区间和极值

先拆分，令m（x）＝（x+1）^1.5，n（x）=x-4
m‘（x）=1.5（x+1）^0.5，n’（x）=1
∴f‘’（x）=（x+1）^1.5+1.5x（x+1）^0.5-6（x+1）^0.5
令f‘’（x）=0，再换元
这下总会做了吧
（高中生都会了）

求函式f(x)=(x-1)^3(x+2)^2的单调区间和极值

f'(x)=3(x-1)^2(x+2)^2+2(x-1)^3(x+2)=(x-1)^2(x+2)[3x+6+2x-2]=(x-1)^2(x+2)(5x+4)
由f'(x)=0得x=1, -2, -4/5
但在x=1左右邻域，f'(x)不变号，因此它不是极值点；
单调增区间：x<-2, 或x>-4/5
单调减区间：(-2,-4/5)
极大值f(-2)=0
极小值f(-4/5)=(-9/5)^3(6/5)^2=-26244/3125