黎曼ζ函数

黎曼ζ函数是当变量$s$为大于1的实数时，由$ζ(s)=\frac{1}{1^s}$+$\frac{1}{2^s}$+$\frac{1}{3^s}$+$\frac{1}{4^s}$ $\cdots$确定的函数，但黎曼ζ函数可扩充定义域为整个复平面上的函数。$s=–2，–4，–6，\cdots$是黎曼ζ函数的零点，称为平凡零点。除此之外，ζ函数还有很多其他零点，称为非平凡零点。黎曼猜想就是说所有非平凡零点的实部都是$\frac{1}{2}$，即所有非平凡零点都应该位于直线$\frac{1}{2}+ti$（临界线）上。欧拉建立了黎曼ζ函数和素数之间的联系 $$ζ(s)=\frac{1}{1-2^{-s}}\cdot \frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\cdots\cdot\frac{1}{1-p^{-s}}\cdot\cdots \ _.$$

这里，等式右边的乘积中的$p$取遍所有的素数，因而右边是无穷多个分式的乘积，称为欧拉乘积。由此，黎曼ζ函数在研究素数的解析理论中起到了关键作用。