π是怎样算出来的V5

圆周率是什么？

圆周率就是一个圆的“圆周”长度和它的“直径”长度相比的倍数。不论圆的大小如何，这个倍数都是一样的，因而是个“常数”，在数学上名为“π”。它是希腊文“周围”的第一个字母。

在日常生活和生产活动中，圆周率π这个数值用途非常广泛，同时也是一个很奇特的数值。

圆周率π的数值，该是多少呢？

为了求这个数值，自古以来不知有多少数学家绞尽脑汁，算出了一个比一个更精确的值。一般是利用圆的内接或外切正多边形的周长，近似地代替圆的周长。起初人们以为可以算到底，求出π的全值。但是，算来算去，越算越没个完，始终到不了底。直到18世纪中叶，才有个德国数学家朗伯，用数学证明π是个无理数（无限不循环的小数），按一定的法则，可以无休止地算下去，而不像分数，如，虽然也“无尽”，但却简单。让我们回顾一下，国内外数学家对圆周率π值的贡献吧。

的数值，说圆周率等于10的平方根（即π==3.16），这个数值很简便，容易记。魏晋时，我国数学家刘徽，在公元263年注《九章算术》时指出，“周三径一”只是内接正六边形周径的比率，由此只能计算出内接正十二边形的面积。为了精密地计算出圆的面积，他创造了割圆术。他用割圆术计算出圆内接正192边形的面积，得圆周率值：π==3.14；后来，又计算出圆内接正3072边形的面积，得到更精确的圆周率值：π==3.1416。他这种用圆的内接正多边形的面积，来逼近圆面积的极限观念，在数学上是个很大的创造。

最辉煌的成就，要算南北朝时代的科学家祖冲之（公元429～500年）推算的的圆周率值。他精密地推算出π值在3.1415926和3.1415927之间，无一字错误，是世界上最早的七位小数精确值。祖冲之的这一成果记载在《缀术》一书中。后来，他又提出两个分数值，一个叫“约率”，π==3.14；另一个叫“密率”，π==3.1415929。约率和希腊学者阿基米德的圆周率值相同，但密率在欧洲直到16世纪，才由法国数学家奥托和荷兰数学家安托尼兹得到，比我国晚了1000多年。现在月球背面的一个山谷，就被命名为“祖冲之”，可见国际上对他的景仰。

15世纪后，欧洲科学技术蓬勃兴起，所谓方圆学者（求同一面积的一方一圆），日见增多，于是圆周率值也越算越精确，大家都以算出的π的小数位数越多越可贵。最突出的要算德国数学家卢多夫，他通过计算正2⁶²边形的周长，竟将π值的小数算到35位，而且经过其他学者核对，无一字之差。他感到不虚此生，并遗嘱将这35位数值刻在他的墓碑上。因此，有的德国人至今还把圆周率值，称为“卢氏值”。

17世纪中叶以后，由于微积分理论的建立和完善，π的计算方法有了本质的变化，从计算正多边形的周长转为计算某些收敛级数的部分和。这类计算法大都基于反正切函数的级数展开式：

注意到arctanl=，在上式中令x=1，就得到莱布尼兹公式：

这是用无限级数表示π的最简洁的公式，然而它却难以用于计算：它的各项的绝对值减小的速度太慢，以至于用很多项还只能求出粗糙的近似值。于是，人们不断探索更便于近似计算的无限级数来求π的值，思路大都是用较小数值的反正切来表示π。例如，下面这些公式都能导出有效的计算公式：

有了微积分理论的这些成果，π的计算就进入一个新的境界，小数位数增加很快：1706年就达到100位（马廷），1794年到了140位（维加），1824年到了152位（卢瑟福），1844年到了205位（达泽），1853年到了440位（卢瑟福），1855年到了500位（利希特尔）。在19世纪圆周率计算的竞赛中，冠军应该属于英国数学家山克司，他用了15年功夫，于1874年把π的值算到了707位。很遗憾的是，他算出的数值中第528位以后不正确。到了1947年，π的值已经被计算到了808位（福克森）。这是电子计算机问世前的最高纪录了。

电子计算机问世以后，用电子计算机来计算圆周率，使π的小数位数以惊人的速度增长。早在1949年，就有人在一天一夜里算出2048位（其中2037位正确）；到了1967年，π的值被算到了50万位，1988年到了2亿多位，1989年到了10亿多位……

圆周率被计算到如此精确的地步，是我们的先人所想象不到的，也超出了任何实际应用的需要。这类计算，与其说是探索π的奥秘，不如说是对计算机性能的考验。

关键词：圆周率 割圆术 刘徽 祖冲之 级数